3 systemer af lineære ligninger og hvordan man løser dem

den lineære ligninger de er polynomiske ligninger med en eller flere ukendte. I dette tilfælde er de ubekendte ikke hævet til beføjelser, heller ikke ganges med hinanden (i dette tilfælde vi sige, at ligningen er klasse 1 eller første klasse).

En ligning er en matematisk lighed, hvor der er et eller flere af et ukendt element, som vi kalder ukendt eller ukendt i tilfælde af at der er mere end en. For at løse denne ligning er det nødvendigt at finde ud af værdien af ​​de ukendte.

En lineær ligning har følgende struktur:

til₀· 1 + a₁· X₁+ til₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Hvor til₀, til₁, til₂,..., a_n er reelle tal, som vi kender deres værdi og kaldes koefficienter, b er også et kendt rigtigt tal, der kaldes uafhængigt udtryk. Og endelig er de X₁, X_2,..., X_n som er såkaldte ukendte. Disse er de variabler, hvis værdi ikke er kendt.

Et system af lineære ligninger er et sæt lineære ligninger, hvor værdien af ​​de ukendte er den samme i hver ligning.

Logisk er vejen til at løse et system af lineære ligninger tildeling af værdier til de ukendte, således at ligestilling kan verificeres. Det vil sige, at de ukendte skal beregnes således, at alle ligninger i systemet er opfyldt samtidigt. Vi repræsenterer et system af lineære ligninger som følger

til₀· 1 + a₁· X₁ + til₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 hvor a_0, til₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n etc os rigtige tal og de ukendte at løse er X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Hver lineær ligning repræsenterer en linje, og derfor repræsenterer et system af ligninger af N lineære ligninger N lige trukket i rummet.

Afhængig af antallet af ubekendte, som hver lineær ligning repræsenterer linjen denne ligning er repræsenteret i en anden dimension, dvs. en ligning med to ubekendte (fx 2 · X₁ + X₂ = 0) repræsenterer en linje i et todimensionelt rum, en ligning med tre ukendte (for eksempel 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) ville være repræsenteret i et tredimensionelt rum og så videre.

Ved løsning af et system af ligninger er værdierne for X₀,..., X_n ,X_{n + 1} Skal være skærepunkterne mellem linjerne.

Ved at løse et system af ligninger kan vi nå forskellige konklusioner. Afhængigt af hvilken type resultat vi opnår, kan vi skelne mellem 3 typer systemer af lineære ligninger:

1- Ubestemt kompatibilitet

Selv om det kan lyde som en vittighed, er det muligt, at når vi forsøger at løse ligningssystemet, kommer vi frem til en åbenhed i stilen 0 = 0.

Denne type situation opstår, når der er uendeligt mange løsninger på det system af ligninger, og det er, når det viser sig, at ligninger i vores system af ligninger repræsenterer den samme linje. Vi kan se det grafisk:

Som et system af ligninger tager vi:

Ved at have 2 ligninger med 2 ukendte at løse kan vi repræsentere linjerne i et todimensionelt plan

Som vi kan se linjerne med det samme derfor alle punkter af den første ligning matcher dem i den anden ligning derfor har så mange point som punkter skåret er lige, dvs. uendelig.

2- uforenelig

Når vi læser navnet, kan vi forestille os, at vores næste system af ligninger ikke vil have en løsning.

Hvis vi forsøger at løse for eksempel dette system af ligninger

Grafisk ville det være:

Hvis vi multiplicerer alle betingelserne i den anden ligning, får vi at X + Y = 1 er lig med 2 · X + 2 · Y = 2. Og hvis dette sidste udtryk trækkes fra den første ligning, opnår vi

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Eller hvad er det samme

0 = 1

Når vi er i denne situation, betyder det, at de linjer, der er repræsenteret i ligningssystemet, er parallelle, hvilket betyder, at de pr. Definition aldrig bliver skåret og der ikke er noget skæringspunkt. Når et system præsenteres på denne måde, siges det at være inkonsekvent uafhængigt.

3- Bestemt støtte

Endelig kommer vi til det tilfælde, hvor vores ligningssystem har en enkelt løsning, hvor vi har linjer, der krydser og skaber et krydsningspunkt. Lad os se et eksempel:

For at løse det kan vi tilføje de to ligninger, så vi opnår

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Hvis vi forenkler, er vi tilbage

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Hvorfra vi let udleder, at X = 2 og erstatter eller X = 2 i nogen af ​​de oprindelige ligninger, får vi Y = 3.

Visuelt ville det være:

Metoder til løsning af systemer af lineære ligninger

Som vi har set i det foregående afsnit, for en 2 ubekendte og 2 ligninger, baseret på simple operationer som addition, subtraktion, multiplikation, division og udskiftning kan vi løse i løbet af få minutter. Men hvis vi forsøger at anvende denne metode på systemer med flere ligninger og flere ukendte, bliver beregningerne kedelige, og vi kan let fejle.

For at forenkle beregningerne er der flere metoder til løsning, men uden tvivl er de mest udbredte metoder Cramer's Rule og Elimination of Gauss-Jordan..

Cramer metode

For at forklare, hvordan denne metode anvendes, er det vigtigt at vide, hvad dens matrix er, og ved hvordan man finder dens determinant, lad os lave parentes for at definere disse to begreber.

en matrix det er ikke mere end et sæt tal eller algebraiske symboler placeret i vandrette og lodrette linjer og arrangeret i form af et rektangel. For vores tema vil vi bruge matrixen som en mere forenklet måde at udtrykke vores system af ligninger på.

Lad os se et eksempel:

Det vil være systemet med lineære ligninger

Dette enkle system af ligninger vi kan opsummere er driften af ​​to 2 × 2 matricer, der resulterer i en 2 × 1 matrix.

Den første matrix svarer til alle koefficienterne, den anden matrix er de ukendte at løse, og matrixen er placeret efter ligestilling er identificeret med de uafhængige udtryk for ligningerne

den determinanten er en operation, der anvendes på en matrix, hvis resultat er et reelt tal.

I tilfælde af den matrix, som vi har fundet i vores tidligere eksempel, vil dens determinant være:

Når begreberne matrix og determinant er blevet defineret, kan vi forklare, hvad Cramer-metoden består af.

Ved denne fremgangsmåde kan vi nemt løse et system af lineære ligninger, så længe systemet ikke overstiger tre ligninger med tre ubekendte da beregningen af ​​determinanterne for en matrix er meget vanskeligt for matricer 4 × 4 eller højere. I tilfælde af at have et system med mere end tre lineære ligninger anbefales metoden ved eliminering af Gauss-Jordan.

Fortsat med det foregående eksempel, ved hjælp af Cramer skal vi simpelthen beregne to determinanter og med det vil vi finde værdien af ​​vores to ukendte.

Vi har vores system:

Og vi har et system repræsenteret af matricer:

Værdien af ​​X er fundet:

Simpelthen i beregningen af ​​determinanten som er placeret i nævnets nævneren, har vi erstattet den første kommune for matrixen af ​​uafhængige vilkår. Og i nævneren af ​​divisionen har vi afgørende betydning for vores oprindelige matrix.

Udfører de samme beregninger for at finde Y opnår vi:

Eliminering af Gauss-Jordanien

Vi definerer udvidet matrix til matrixen, der stammer fra et system af ligninger, hvor vi tilføjer de uafhængige udtryk i matrixens ende.

Fremgangsmåden ifølge Gauss-Jordan elimination er gennem operationer mellem rækker af matrixen omdanne vores udvidede matrix i en meget enklere matrix, hvor jeg har nuller i alle felter undtagen diagonal, hvor jeg skal opnå. Som følger:

Hvor X og Y ville være reelle tal, der svarer til vores ukendte.

Lad os løse dette system ved at eliminere Gauss-Jordan:

Vi har allerede formået at opnå et nul i den nederste venstre del af vores matrix, næste trin er at få en 0 i den øverste højre del af den.

Vi har nået 0 i den øverste venstre side af matrixen, nu skal vi kun omdanne diagonalen til dem, og vi har allerede løst vores system af Gauss-Jordan.

Derfor kommer vi til den konklusion, at:

referencer

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Systemer af lineære ligninger (uden dato). Genoprettet fra uco.es.
4. Systemer af lineære ligninger. Kapitel 7. (undated). Hentet fra sauce.pntic.mec.es.
5. Lineær Algebra og Geometri (2010/2011). Systemer af lineære ligninger. Kapitel 1. Afdelingen for Algebra. University of Seville. Spanien. Gendannet fra algebra.us.es.