Sarrus Rule i hvad der består og typer af determinanter

den Sarrus styre Det bruges til at beregne resultatet af determinanter på 3 × 3. Disse bruges til at løse lineære ligninger og vide, om de er kompatible.

Kompatible systemer giver dig mulighed for at opnå løsningen lettere. De bruges også til at bestemme, om sæt af vektorer er lineært uafhængige og danner basis for vektorrummet.

Disse applikationer er baseret på matrixernes inverterbarhed. Hvis en matrix er regelmæssig, er dens determinant forskellig fra 0. Hvis den er entallet, er dens determinant 0. De determinanter kan kun beregnes i kvadratiske matricer.

For at beregne matricer af en hvilken som helst ordre, kan Laplace sætningen bruges. Denne sætning giver os mulighed for at forenkle matricer af høje dimensioner i summere af små determinanter, som vi nedbryder fra hovedmatrixen.

Bekræfter, at determinanten af ​​en matrix er lig med summen af ​​produkterne i hver række eller kolonne ved hjælp af determinanten af ​​den vedhæftede matrix.

Dette reducerer determinanterne, således at en determinant for grad n bliver n determinanter for n-1. Hvis vi anvende denne regel efter hinanden, kan vi komme til at få determinanter for dimension 2 (2 x 2) eller 3 (3 × 3), hvor det er meget lettere at beregne.

Sarrus Rule

Pierre Frederic Sarrus var en fransk matematiker fra det 19. århundrede. De fleste af hans matematiske afhandlinger er baseret på metoder til løsning af ligninger og beregning af variationer inden for de numeriske ligninger.

I en af ​​hans afhandlinger løste han en af ​​de mest komplekse gåder af mekanik. For at løse problemerne med de leddelte dele introducerede Sarrus omdannelsen af ​​alternative retliniebevægelser i ensartede cirkulære bevægelser. Dette nye system er kendt som Sarrus-mekanismen.

Forskning, at mere ære gav dette matematiker var den, der blev indført en ny beregningsmetode til bestemmelse, i artiklen "Nouvelles methodes pour la beslutning des ligninger" (Ny metode til løsning af ligninger), som blev offentliggjort i år 1833. Denne måde at løse lineære ligninger på, er kendt som Sarrus regel.

Sarrus udelukke at beregne determinanten af ​​en matrix af 3 × 3, uden at bruge Laplace ekspansion, indføre en meget mere enkel og intuitiv metode. For at kunne kontrollere værdien af ​​Sarrus-reglen tager vi en matrix af dimension 3:

Beregningen af ​​dens determinant ville ske ved produktet af dets hoveddiagonaler, idet produktet blev trukket fra de inverse diagonaler. Dette ville være som følger:

Sarrus-reglen giver os mulighed for at opnå en meget enklere vision ved beregning af determinantens diagonaler. Det ville blive forenklet ved at tilføje de to første kolonner på bagsiden af ​​matrixen. På denne måde kan du se mere tydeligt, hvilke er dine vigtigste diagonaler, og hvilke er de omvendte, til beregning af produktet.

Gennem dette billede kan vi se anvendelsen af ​​Sarrus-reglen, vi inkluderer række 1 og 2, under den grafiske repræsentation af den oprindelige matrix. På denne måde er de vigtigste diagonaler de tre diagonaler, der vises i første omgang.

De tre omvendte diagonaler er igen de der vises først i ryggen.

På denne måde vises diagonalerne på en mere visuel måde uden at komplicere determinantens opløsning og forsøger at finde ud af, hvilke elementer af matrixen der tilhører hver diagonal.

Som det fremgår af billedet, vælger vi diagonalerne og beregner det resulterende produkt af hver funktion. Diagonalerne, der vises i blåt er de, der tilføjer. Til summen af ​​disse trækker vi værdien af ​​diagonalerne, der vises i rødt.

For at gøre komprimeringen nemmere kan vi bruge et numerisk eksempel i stedet for at bruge algebraiske udtryk og subtermer.

Hvis vi tager en 3 × 3 matrix, for eksempel:

For at anvende Sarrus-reglen og løse det på en mere visuel måde, skal vi inkludere række 1 og 2, henholdsvis række 4 og 5. Det er vigtigt at holde række 1 i 4. position og række 2 i 5. position. For hvis vi bytter dem, vil Sarrus-reglen ikke være effektiv.

For at beregne determinanten ser vores matrix sådan ud:

For at fortsætte med beregningen multiplicerer vi elementerne i de vigtigste diagonaler. De faldende, der begynder til venstre, vil tage positive tegn; mens de omvendte diagonaler, som er dem, der starter til højre, bærer et negativt tegn.

I dette eksempel ville de blå gå med et positivt tegn og de røde med et negativt tegn. Den endelige beregning af Sarrus Rule ville se sådan ud:

Typer af determinanter

Bestemmende for dimension 1

Hvis matrixens dimension er 1, er matrixen af ​​denne form: A = (a)

Derfor vil dens determinant være som følger: det (A) = | A | = a

Sammenfattende er determinanten af ​​matrix A lig med den absolutte værdi af matrix A, som i dette tilfælde er a.

Bestemmende for dimension 2

Hvis vi går til matricer af dimension 2, får vi matricer af typen:

Hvor dens determinant er defineret som:

Opløsningen af ​​denne determinant er baseret på multiplikationen af ​​dens hoveddiagonal, idet produktet trækkes fra dets inverse diagonale.

Som en mnemonisk regel kan vi bruge følgende diagram til at huske dens determinant:

Bestemmende for dimension 3

Hvis matrixens dimension er 3, vil den resulterende matrix være af denne type:

Bestemmelsen af ​​denne matrix vil blive løst gennem Sarrus-reglen på denne måde:

referencer

1. Jenny Olive (1998) Maths: En Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematik: De 50 mest udbredte teorier i matematik. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) En undersøgelse af beregningen af ​​determinanterne for en 3 × 3 matrix. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Pass publikation.
6. Jesse Russell (2012) Regel af Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Introduktion til lineær algebra. ESIC Editorial.