Sådan beregnes siderne og vinklerne i en trekant?

Der er forskellige måder at beregne sider og vinkler af en trekant. Disse afhænger af den type trekant, du arbejder med.

I denne mulighed viser vi, hvordan man beregner siderne og vinklerne i en rigtig trekant, forudsat at visse trekantdata med kendt.

De elementer, der vil blive brugt er:

- Pythagoras sætning

Med en ret trekant med ben "a", "b" og hypotenuse "c" er det sandt, at "c² = a² + b²".

- Areal af en trekant

Formlen til beregning af området for enhver trekant er A = (b × h) / 2, hvor "b" er længden af ​​basen og "h" længden af ​​højden.

- Vinkler af en trekant

Summen af ​​de tre indre vinkler af en trekant er 180º.

- De trigonometriske funktioner:

Overvej en rigtig trekant. Derefter defineres de sinus-, cosinus- og tangent-trigonometriske funktioner i beta (β) vinklen som følger:

synd (β) = CO / Hip, cos (β) = CA / Hip og tan (β) = CO / CA.

Sådan beregnes siderne og vinklerne i en rigtig trekant?

Givet en højre trekant ABC kan følgende situationer opstå:

1- De to ben er kendte

Hvis katetret "a" måler 3 cm og katetret "b" måler 4 cm, så beregnes værdien af ​​"c" den pythagoriske sætning. Ved erstatning af værdierne "a" og "b" opnås det, at c² = 25 cm², hvilket betyder at c = 5 cm.

Nu, hvis vinklen β er modsat katetus "b", så er synd (β) = 4/5. Ved anvendelse af inverse sinusfunktionen opnår vi i denne sidste ligevægt, at β = 53.13º. To indvendige vinkler af trekanten er allerede kendt.

Lad θ være den vinkel, der forbliver kendt, så 90º + 53,13º + θ = 180º, hvorfra vi opnår det θ = 36,87º.

I dette tilfælde er det ikke nødvendigt, at de kendte sider er de to ben, det vigtige er at kende værdien af ​​de to sider.

2- Et katetus og området er kendt

Lad a = 3 cm det kendte ben og A = 9 cm² området af trekanten.

I en højre trekant kan et ben betragtes som en basis og den anden som højde (da de er vinkelrette).

Antag at "a" er basen, derfor 9 = (3 × h) / 2, hvorfra det opnås at det andet kateter måler 6 cm. For at beregne hypotenussen fortsætter vi som i det foregående tilfælde, og vi opnår det c = √45 cm.

Nu, hvis vinklen β er overfor benet "a", så er synden (β) = 3 / √45. Når vi fjerner β, opnår vi, at dens værdi er 26.57º. Det er kun at kende værdien af ​​den tredje vinkel θ.

Det er tilfreds, at 90º + 26,57º + θ = 180º, hvoraf det konkluderes, at θ = 63,43º.

3- En vinkel og et ben er kendt

Lad β = 45 ° være den kendte vinkel og a = 3 cm det kendte ben, hvor benet "a" er modsat vinklen β. Ved hjælp af tangentens formel opnår vi den tg (45º) = 3 / CA, hvorfra det viser sig at CA = 3 cm.

Ved hjælp af Pythagoras sætning opnår vi det c² = 18 cm², det vil sige c = 3√2 cm.

Det er kendt, at en vinkel måler 90º og at β måler 45º, hvoraf det konkluderes, at den tredje vinkel måler 45º.

I dette tilfælde behøver den kendte side ikke at være et ben, det kan være en af ​​de tre sider af trekanten.

referencer

1. Landaverde, F. d. (1997). geometri (Reprint ed.). fremskridt.
2. Leake, D. (2006). trekanter (illustreret udgave). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). geometrier. CR-teknologi.
5. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometri og Analytisk Geometri. Pearson Education.