Hvad er kvadratroten på 3?



At vide, hvad kvadratroden af ​​3, Det er vigtigt at kende definitionen af ​​kvadratroten af ​​et tal.

Givet et positivt tal "a", kvadratroden af ​​"a", betegnet med √a, er et positivt tal "b" således at når "b" multipliceres med det samme, er resultatet "a".

Den matematiske definition siger: √a = b hvis, og kun hvis, b² = b * b = a.

For at vide, hvad der er kvadratroden på 3, det vil sige værdien af ​​√3, skal vi finde et tal "b" sådan, at b² = b * b = √3.

Derudover er √3 et irrationelt tal, som det består af et ikke-periodisk uendeligt antal decimaler. Af denne grund er det kompliceret at beregne kvadratroden af ​​3 manuelt.

Kvadratroden af ​​3

Hvis du bruger en lommeregner, kan du se, at kvadratroden på 3 er 1.73205080756887 ...

Nu kan du manuelt prøve at approximere dette nummer på følgende måde:

-1 * 1 = 1 og 2 * 2 = 4, siger dette at kvadratroden af ​​3 er et tal mellem 1 og 2.

-1.7 * 1.7 = 2.89 og 1.8 * 1.8 = 3.24, derfor er den første decimaltal 7.

-1,73 * 1,73 = 2,99 og 1,74 * 1,74 = 3,02, så den anden decimal er 3.

-1.732 * 1.732 = 2.99 og 1.733 * 1.733 = 3.003, derfor er det tredje decimaltal 2.

Og så videre kan du fortsætte. Dette er en manuel måde at beregne kvadratroten på på 3.

Der er også andre langt mere avancerede teknikker, såsom Newton-Raphson-metoden, som er en numerisk metode til beregning af tilnærmelser..

Hvor kan vi finde nummeret √3?

På grund af antallet af kompleksitet kan man tro, at det ikke forekommer i hverdagens genstande, men det er falsk. Hvis du har en terning (kvadratkasse), sådan at længden af ​​siderne er 1, vil kubens diagonaler have et mål på √3.

For at kontrollere dette Pythagoras 'læresætning bruges som siger: Givet en retvinklet trekant, hypotenusen kvadrerede er lig med summen af ​​kvadraterne af benene (c² = a² + b ²).

Ved at have en terning med en side på 1 har diagonalen i kvadratet af dets base er lig med summen af ​​kvadraterne af benene, dvs. c² = 1² + 1² = 2, så diagonalen af ​​basen målt √2.

For at beregne kubens diagonal kan du se nedenstående figur.

Den nye trekant har ben med længder 1 og √2 derfor at bruge Pythagoras at beregne længden af ​​dens diagonal opnås: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, er det sig, C = √3.

Således er længden af ​​diagonalen af ​​en terning på side 1 lig med √3.

√3 et irrationelt nummer

I begyndelsen blev det sagt, at √3 er et irrationelt tal. For at bevise dette antages det af absurditeten at det er et rationelt tal, hvor der er to tal "a" og "b", relative kusiner, således at a / b = √3.

Når den sidste ligestilling er kvadret og "a2" ryddes, opnås følgende ligning: a² = 3 * b². Dette siger, at "a2" er et multiplum af 3, hvilket konkluderer, at "a" er et multiple af 3.

Da "a" er et multipel af 3, er der et helt tal "k" sådan at a = 3 * k. Derfor, når vi erstatter i anden ligning, opnår vi: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², hvilket er det samme som b² = 3 * k².

Som før fører denne sidste ligevægt til den konklusion, at "b" er et flertal på 3.

Som konklusion er "a" og "b" begge multipler af 3, hvilket er en modsigelse, for i starten blev det antaget, at de var relative fætre.

Derfor er √3 et irrationelt tal.

referencer

  1. Bails, B. (1839). Principper for arismetica. Trykt af Ignacio Cumplido.
  2. Bernadet, J. O. (1843). Komplet elementær traktat af lineal tegning med ansøgninger til kunsten. José Matas.
  3. Herranz, D. N., & Quirós. (1818). Universelle, rene, testamentlige, kirkelige og kommercielle aritmetiske. trykning fra Fuentenebro.
  4. Preciado, C. T. (2005). Matematikkursus 3o. Editorial Progreso.
  5. Szecsei, D. (2006). Grundlæggende matematik og præ-algebra (illustreret udgave). Karriere Presse.
  6. Vallejo, J. M. (1824). Aritmetik af børn ... Imp. Det var Garcias.