Polynomiske ligninger (med opløste øvelser)



den polynomiske ligninger er en erklæring om, at rejser to udtryk lig med eller medlemmer, hvor mindst én af de vilkår, der udgør hver side af lighed er polynomier P (x). Disse ligninger er navngivet i henhold til graden af ​​deres variabler.

Generelt en ligning er en erklæring, der etablerer lige to udtryk, hvor er ukendte mængder, som kaldes variabler eller ubekendte i mindst én af disse. Selv om der er mange typer af ligninger, er de generelt klassificeret i to typer: algebraisk og transcendent.

Polynomiske ligninger indeholder kun algebraiske udtryk, som kan have en eller flere ukendte involverede i ligningen. Ifølge eksponenten (grader) de lader kan klassificeres i første grad (lineære), andengrads (kvadratisk), tredje grad (kubisk), fjerde klasse (fjerdegradsregressionsgraf) af grad større end eller lig med fem og irrationel.

indeks

  • 1 kendetegn
  • 2 typer
    • 2.1 Første klasse
    • 2.2 Anden grad
    • 2.3 Resolver
    • 2,4 højere klasse
  • 3 øvelser løst
    • 3.1 Første øvelse
    • 3.2 Anden øvelse
  • 4 referencer

funktioner

Polynomiske ligninger er udtryk, der dannes af en lighed mellem to polynomier; det vil sige ved de endelige summer af multiplikationer mellem ukendte værdier (variable) og faste tal (koefficienter), hvor variablerne kan have eksponenter, og deres værdi kan være et positivt heltal, herunder nul.

Eksponenterne bestemmer graden eller typen af ​​ligningen. Det udtryk for udtrykket, som har den højeste værdieksponent, repræsenterer den absolutte grad af polynomet.

De ligninger kaldes også algebraiske, kan deres koefficienter være reelle eller komplekse tal og variabler er ukendte numre repræsenteret ved et brev, som "x".

Ved udskiftning en værdi for variablen "x" i P (x) resultatet er nul (0), så er det siges, at denne værdi tilfredsstiller ligningen (det er en opløsning), og kaldes normalt roden af ​​polynomiet.

Når en polynomækvation er udviklet, vil du finde alle rødder eller løsninger.

typen

Der er flere typer af polynomiske ligninger, som er differentieret i henhold til antallet af variabler, og også i overensstemmelse med deres eksponeringsgrad.

Således ligninger, hvor det første led er et polynomium, der har en ukendt, mens deres grad kan være ethvert naturligt tal (n) og det andet led er nul, kan udtrykkes som følger:

tiln * xn + tiln-1 * xn-1 +... + a1 * x1 + til0 * x0 = 0

hvor:

- tiln, tiln-1 og a0, de er reelle koefficienter (tal).

- tiln det er forskelligt fra nul.

- Eksponenten n er et positivt heltal, der repræsenterer graden af ​​ligningen.

- x er variablen eller ukendt, der skal søges.

Den absolutte eller større grad af en polynomækvation er den eksponent af større værdi blandt alle dem, der danner polynomet; på den måde klassificeres ligningerne som:

Første klasse

Polynomielle ligninger af første grad, også kendt som lineære ligninger, er dem, hvor graden (den største eksponent) er lig med 1, polynomiet har formen P (x) = 0; og den består af en lineær betegnelse og et selvstændigt udtryk. Det er skrevet som følger:

økse + b = 0.

hvor:

- a og b er reelle tal og en ≠ 0.

- økse er det lineære udtryk.

- b er det uafhængige udtryk.

For eksempel er ligningen 13x - 18 = 4x.

For at løse lineære ligninger skal alle de vilkår, der indeholder det ukendte x, sendes til den ene side af ligestillingen, og de, der ikke har, flyttes til den anden side for at rydde den og opnå en løsning:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

På den måde har den givne ligning en enkelt opløsning eller rod, som er x = 2.

Anden klasse

Polynomielle ligninger af anden grad, også kendt som kvadratiske ligninger, er dem, hvor graden (den største eksponent) er lig med 2, polynomiet har formen P (x) = 0, og er sammensat af en kvadratisk udtryk , en lineær og en uafhængig. Det udtrykkes som følger:

økse2 + bx + c = 0.

hvor:

- a, b og c er reelle tal og en ≠ 0.

- økse2 er det kvadratiske udtryk, og "a" er koefficienten for det kvadratiske udtryk.

- bx er det lineære udtryk, og "b" er koefficienten for det lineære udtryk.

- c er det uafhængige udtryk.

resolvente

I almindelighed gives løsningen til denne type ligninger ved at rydde x fra ligningen, og den efterlades som følger, som kaldes en resolver:

Der, (f2 - 4ac) kaldes diskriminanten af ​​ligningen, og dette udtryk bestemmer antallet af løsninger, som ligningen kan have:

- Ja (f2 - 4ac) = 0, vil ligningen have en enkelt opløsning, der er dobbelt; Det vil sige, at du vil have to lige løsninger.

- Ja (f2 - 4ac)> 0, vil ligningen have to forskellige virkelige løsninger.

- Ja (f2 - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

For eksempel har du ligningen 4x2 + 10x - 6 = 0, for at løse det, skal du først identificere termerne a, b og c, og erstatte det derefter med formlen:

a = 4

b = 10

c = -6.

Der er tilfælde, hvor polynomiale ligninger i anden grad ikke har de tre udtryk, og derfor løses de anderledes:

- I tilfælde af at de kvadratiske ligninger ikke har det lineære udtryk (det vil sige b = 0), vil ligningen blive udtrykt som økse2 + c = 0. For at løse det, ryddes det x2 og de firkantede rødder anvendes i hvert medlem, idet man husker at de to mulige tegn, som det ukendte kan have, overvejes:

økse2 + c = 0.

x2 = - c ÷ a

For eksempel 5 x2 - 20 = 0.

5 x2 = 20

x2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x1 = 2.

x2 = -2.

- Når den kvadratiske ligning ikke har et selvstændigt udtryk (dvs. c = 0), vil ligningen blive udtrykt som økse2 + bx = 0. For at løse det skal vi uddrage den fælles faktor af den ukendte x i det første medlem; da ligningen er lig med nul, er det sandt, at mindst en af ​​faktorerne vil være lig med 0:

økse2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

På den måde skal du:

x = 0.

x = -b ÷ a.

For eksempel: du har ligningen 5x2 + 30x = 0. Første faktor:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

To faktorer genereres, der er x og (5x + 30). Det antages, at en af ​​disse vil være lig med nul, og den anden løsning vil blive givet:

x1 = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x2 = -6.

Hovedgrad

Polynomielle ligninger af højere grad er dem, der spænder fra den tredje klasse på, som kan udtrykkes eller løses med andengradsligningen for alle grader Generelt:

tiln * xn + tiln-1 * xn-1 +... + a1 * x1 + til0 * x0 = 0

Dette bruges fordi en ligning med en grad større end to er resultatet af faktorisering af et polynom; det vil sige, det udtrykkes som multiplikationen af ​​polynomier af grad en eller større, men uden virkelige rødder.

Løsningen af ​​denne type ligninger er direkte, fordi multiplikationen af ​​to faktorer vil være lig med nul, hvis nogen af ​​faktorerne er null (0); Derfor skal hver af de polynomiske ligninger fundet løses, der matcher hver af dens faktorer til nul.

For eksempel har du ligningen for tredje grad (kubisk) x3 + x2 +4x + 4 = 0. For at løse det skal følgende trin følges:

- Vilkårene er grupperet:

x3 + x2 +4x + 4 = 0

(x3 + x2 ) + (4x + 4) = 0.

- Lammene er brudt ned for at få den ukendte fælles faktor:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4)*(x + 1) = 0.

- På denne måde opnås to faktorer, som skal svare til nul:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Det kan ses, at faktoren (x2 + 4) = 0 vil ikke have en reel løsning, mens faktoren (x + 1) = 0 ja. Derfor er løsningen:

(x + 1) = 0

x = -1.

Løste øvelser

Løs de følgende ligninger:

Første øvelse

(2x2 + 5)*(x - 3)*(1 + x) = 0.

opløsning

I dette tilfælde udtrykkes ligningen som multiplikationen af ​​polynomier; det er det faktum. For at løse det skal hver faktor være lig med nul:

- 2x2 + 5 = 0, har ingen løsning.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Den givne ligning har således to løsninger: x = 3 og x = -1.

Anden øvelse

x4 - 36 = 0.

opløsning

Det blev givet et polynom, som kan omskrives som en forskel på kvadrater for at komme frem til en hurtigere løsning. Således forbliver ligningen:

(x2 + 6)*(x2 - 6) = 0.

For at finde løsningen af ​​ligningerne er begge faktorer lig med nul:

(x2 + 6) = 0, har ingen løsning.

(x2 - 6) = 0

x2 = 6

x = ± √6.

Således har den indledende ligning to løsninger:

x = √6.

x = - √6.

referencer

  1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
  2. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra Pearson Education,.
  3. Baer, ​​R. (2012). Lineær Algebra og Projektiv Geometri. Courier Corporation.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
  5. Castaño, H. F. (2005). Matematik før beregningen. Universitetet i Medellin.
  6. Cristóbal Sánchez, M.R. (2000). Math manual til olympisk forberedelse. Universitat Jaume I.
  7. Kreemly Pérez, M.L. (1984). Overlegen Algebra I.
  8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematik 3.