Factoriseringsmetoder og eksempler

den faktorisering er en metode, hvorigennem et polynom er udtrykt i form af multiplikation af faktorer, som kan være tal, bogstaver eller begge dele. For at faktorisere de faktorer, der er fælles for termerne grupperes, og på denne måde dekomponeres polynomet i flere polynomier.

Således, når faktorerne multiplicerer hinanden, er resultatet det oprindelige polynom. Factoring er en meget nyttig metode, når du har algebraiske udtryk, fordi det kan omdannes til multiplikationen af ​​flere enkle udtryk. For eksempel: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Der er tilfælde, hvor et polynom ikke kan forklares, fordi der ikke er nogen fælles faktor mellem dens vilkår; således er disse algebraiske udtryk kun delelige kun mellem sig selv og med 1. For eksempel: x + y + z.

I et algebraisk udtryk er den fælles faktor den største fælles divisor af de udtryk der komponerer den.

indeks

• 1 Factoring metoder
  • 1.1 Factoring ved fælles faktor
  • 1.2 Eksempel 1
  • 1.3 Eksempel 2
  • 1.4 Factoring ved gruppering
  • 1,5 Eksempel 1
  • 1.6 Factoring ved inspektion
  • 1.7 Eksempel 1
  • 1,8 Eksempel 2
  • 1.9 Factoring med bemærkelsesværdige produkter
  • 1.10 Eksempel 1
  • 1.11 Eksempel 2
  • 1.12 Eksempel 3
  • 1.13 Factoring med Ruffini's regel
  • 1.14 Eksempel 1
• 2 referencer

Factoring metoder

Der er flere factoring metoder, som anvendes afhængigt af sagen. Nogle af disse er følgende:

Factoring ved fælles faktor

I denne metode identificeres de faktorer, der er almindelige; det vil sige dem, der gentages i udtryk for udtrykket. Derefter anvendes fordelingsejendommen, den maksimale fælles divisor fjernes, og faktoriseringen er afsluttet.

Med andre ord er den fælles ekspressionsfaktor identificeret, og hvert begreb er opdelt imellem det; de resulterende vilkår multipliceres med den største fælles faktor for at udtrykke faktoriseringen.

Eksempel 1

Faktor (f²x) + (b²y).

opløsning

Først er der den fælles faktor for hvert begreb, som i dette tilfælde er b², og så er betingelserne opdelt blandt den fælles faktor som følger:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Faktoriseringen udtrykkes, idet den fælles faktor multipliceres med de resulterende termer:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Eksempel 2

Factorize (2a)²b³) + (3ab²).

opløsning

I dette tilfælde har vi to faktorer, der gentages i hvert udtryk, der er "a" og "b", og som er forhøjet til en kraft. For at faktorere dem, er de to udtryk først opdelt i deres lange form:

2_*til_*til_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Det kan bemærkes, at faktoren "a" kun gentages en gang i andet sigt, og faktoren "b" gentages to gange i den; så i første periode er der kun 2, en faktor "a" og en "b"; mens i andet sigt er der kun 3.

Derfor skriver vi de gange, at "a" og "b" gentages og multipliceres med de faktorer, der er tilbage fra hvert udtryk, som det ses i billedet:

Factorisering ved gruppering

Som ikke i alle tilfælde er den maksimale fælles divisor af et polynom klart udtrykt, er det nødvendigt at foretage andre trin for at kunne omskrive polynomet og dermed faktor.

Et af disse trin er at gruppere vilkårene for polynomet i flere grupper, og brug derefter commonfactor-metoden.

Eksempel 1

Faktor ac + bc + annonce + bd.

opløsning

Der er 4 faktorer, hvor to er fælles: i første term er det "c" og i andet er det "d". På denne måde grupperes og separeres de to udtryk:

(ac + bc) + (ad + bd).

Nu er det muligt at anvende common factor-metoden, dividere hvert udtryk med sin fælles faktor og derefter multiplicere den fælles faktor med de resulterende termer, som denne:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nu får du et binomial, der er fælles for begge udtryk. At faktor multipliceres med de resterende faktorer; på den måde skal du:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Factorisering ved inspektion

Denne metode bruges til at faktorere kvadratiske polynomier, også kaldet trinomier; det vil sige dem, der er struktureret som økse² ± bx + c, hvor værdien af ​​"a" er forskellig fra 1. Denne metode anvendes også, når trinometalet har formen x² ± bx + c og værdien af ​​"a" = 1.

Eksempel 1

Faktor x² + 5x + 6.

opløsning

Du har et kvadratisk trinomial af formen x² ± bx + c. For at faktorere det først skal du finde to tal, der som multipliceret giver værdien af ​​"c" (det vil sige 6), og at summen er lig med koefficienten "b", som er 5. Disse tal er 2 og 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

På denne måde forenkles udtrykket således:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Hvert udtryk er faktureret:

- For (x² + 2x) det almindelige udtryk ekstraheres: x (x + 2)

- For (3x + 6) = 3 (x + 2)

Således forbliver udtrykket:

x (x +2) + 3 (x +2).

Som du har en fælles binomial, for at reducere udtrykket multiplicere dette med overskudsbetingelserne, og du skal:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Eksempel 2

Faktor 4a² + 12a + 9 = 0.

opløsning

Du har et kvadratisk trinomial af form-axen² ± bx + c og for at faktor det hele udtrykket multipliceres med koefficienten x²; i dette tilfælde 4.

4.² + 12a +9 = 0

4.² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² til² + 12a (4) + 36 = 0

Nu skal vi finde to tal, der, når de multipliceres sammen, giver som følge heraf værdien af ​​"c" (som er 36), og at når der tilføjes sammen, resulterer i koefficienten af ​​udtrykket "a", hvilket er 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

På denne måde er udtrykket omskrevet, idet der tages højde for det² til² = 4a _* 4A. Derfor anvendes fordelingsejendommen for hver periode:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Endelig er udtrykket divideret med koefficienten af²; det vil sige 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Udtrykket er som følger:

4.² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring med bemærkelsesværdige produkter

Der er tilfælde, hvor det bliver en meget lang proces at fuldfølge polynomerne med de tidligere metoder.

Derfor kan et udtryk udvikles med formlerne af de bemærkelsesværdige produkter og dermed bliver processen enklere. Blandt de mest anvendte bemærkelsesværdige produkter er:

- Forskel på to firkanter: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Perfekt firkant i summen: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Perfekt firkant af forskel: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Forskel på to terninger: a³ - b³ = (a-b)_*(en² + ab + b²)

- Summen af ​​to terninger: a³ - b³ = (a + b) _* (en² - ab + b²)

Eksempel 1

Faktor (5² - x²)

opløsning

I dette tilfælde er der en forskel på to firkanter; Derfor anvendes formlen for det bemærkelsesværdige produkt:

(en² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Eksempel 2

Faktor 16x² + 40x + 25²

opløsning

I dette tilfælde har vi et perfekt firkant af en sum, fordi vi kan identificere to udtryk squared, og det resterende udtryk er resultatet af at gange to ved kvadratroden af ​​første sigt ved kvadratroden af ​​den anden sigt.

til² + 2ab + b² = (a + b)²

Til faktor beregnes kun firkantede rødder af første og tredje termer:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Derefter adskilles de to resulterende termer med tegnet af operationen, og hele polynomet er kvadret:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Eksempel 3

Faktor 27a³ - b³

opløsning

Ekspressionen repræsenterer en subtraktion, hvor to faktorer hæves til terningen. For at faktorere dem anvendes formlen for det bemærkelsesværdige produkt af kubedifferencen, hvilket er:

til³ - b³ = (a-b)_*(en² + ab + b²)

For at faktorisere, bliver den kubiske rod af hvert term af binomialet ekstraheret og multipliceret med kvadratet af det første udtryk plus produktet af det første med det andet udtryk plus det andet udtryk ved kvadratet.

27th³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27th³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27th³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Factoring med Ruffini's regel

Denne metode bruges, når du har et polynom af grad større end to, for at forenkle udtrykket til flere polynomier i mindre grad.

Eksempel 1

Faktor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

opløsning

Først kigge efter tallene, der er divisorer af 12, hvilket er det uafhængige udtryk; disse er ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 og ± 12.

Derefter erstattes x med disse værdier, fra laveste til højeste, og dermed bestemmes det med hvilke af værdierne divisionen vil være præcis; det vil sige resten skal være 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Og så videre for hver divider. I dette tilfælde er de fundne faktorer for x = -1 og x = 2.

Nu anvendes Ruffini-metoden, hvorefter udtrykkets koefficienter deles mellem de faktorer, der er fundet for at divisionen skal være præcis. De polynomiske termer bestilles fra højeste til laveste eksponent; i tilfælde af at et udtryk med den grad, der følger i sekvensen mangler, placeres en 0 på sin plads.

Koefficienterne er placeret i et skema som set i det følgende billede.

Den første koefficient sænkes og multipliceres med divisoren. I dette tilfælde er den første divisor -1, og resultatet er placeret i den næste kolonne. Derefter tilføjes værdien af ​​koefficienten lodret med det resultat, der blev opnået, og resultatet er placeret under. På den måde gentages processen indtil den sidste kolonne.

Så gentages den samme procedure igen, men med den anden divisor (som er 2), fordi udtrykket stadig kan forenkles.

For hver rot opnået vil således polynomet have et udtryk (x - a), hvor "a" er værdien af ​​roden:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

På den anden side skal disse udtryk multipliceres med resten af ​​Ruffini's regel 1: 1 og -6, som er faktorer, der repræsenterer en karakter. På denne måde er udtrykket der er dannet: (x² + x - 6).

At opnå resultatet af faktoriseringen af ​​polynomet med Ruffini-metoden er:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Til slut kan polynomet af grad 2, der vises i det foregående udtryk, omskrives som (x + 3) (x-2). Derfor er den endelige faktorisering:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

referencer

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Sådan lærer børn om Factoring til polynom.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Grundlæggende matematik med applikationer.
4. Roelse, P. L. (1997). Lineære metoder til polynomial faktorering over finite felter: teori og implementeringer. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringe og faktorisering.