Homotethy Egenskaber, Typer og Eksempler



den homotecia er en geometrisk ændring i flyet, hvor afstanden fra et fast punkt kaldes center (O) multipliceres med en fælles faktor. På denne måde svarer hvert punkt P til et andet punkt P 'produkt af transformationen, og disse er justeret med punktet O.

Derefter er homotetien en korrespondance mellem to geometriske figurer, hvor de transformerede punkter kaldes homotetiske, og disse er justeret med et fast punkt og med segmenter parallelt med hinanden.

indeks

  • 1 Homotecia
  • 2 Egenskaber
  • 3 typer
    • 3.1 Direkte homoteti
    • 3.2 Omvendt homoteti
  • 4 Sammensætning
  • 5 eksempler
    • 5.1 Første eksempel
    • 5.2 andet eksempel
  • 6 referencer

homotecia

Homotetien er en transformation, der ikke har et kongruent billede, fordi der fra en figur er opnået en eller flere figurer af større eller mindre størrelse end den oprindelige figur; det vil sige at homotetien forvandler en polygon til en anden lignende.

For at homotetien skal opfyldes, skal de svare punkt til punkt og lige til lige, således at parene af homologe punkter er justeret med et tredje fast punkt, som er centrum for homotetien.

Ligeledes skal de par af linjer, der går med dem, være parallelle. Forholdet mellem sådanne segmenter er en konstant kaldet homotety ratio (k); på en sådan måde, at homotetien kan defineres som:

For at gøre denne type transformation starter du ved at vælge et vilkårlig punkt, som vil være centrum for homotetien.

Fra dette punkt trækkes linjesegmenter for hvert hjørne af figuren, som skal transformeres. Skalaen, hvori gengivelsen af ​​den nye figur er lavet, er givet på grund af homotetien (k).

egenskaber

En af de vigtigste egenskaber ved homoteti er, at alle homotetiske figurer af samme grund er homotetiske (k). Blandt andre fremragende egenskaber er følgende:

- Centret for homotetien (O) er det eneste dobbeltpunkt, og det forvandler sig til sig selv; det vil sige, det varierer ikke.

- Linjerne, der passerer gennem midten, transformerer sig selv (de er dobbelt), men de punkter, der komponerer det, er ikke dobbelt.

- Rækker, der ikke passerer gennem midten, omdannes til parallelle linjer; På denne måde forbliver homotetiens vinkler de samme.

- Billedet af et segment ved en homoteti af center O og forholdet k, er et segment parallelt med dette og har k gange dets længde. Som det ses i det følgende billede, vil et segment AB af homotetisk resultere i et andet segment A'B ', således at AB vil være parallel med A'B' og k'et vil være:

- Homotetiske vinkler er kongruente; det vil sige, de har samme mål. Derfor er billedet af en vinkel en vinkel, der har samme amplitude.

På den anden side varierer homoteten afhængigt af værdien af ​​forholdet (k), og følgende tilfælde kan forekomme:

- Hvis konstanten k = 1 er alle punkter rettet, fordi de forvandler sig selv. Således falder den homotetiske figur sammen med originalen, og transformationen bliver kaldt identitetsfunktion.

- Hvis k ≠ 1, vil det eneste faste punkt være centrum for homotetien (O).

- Hvis k = -1, bliver homotetien en central symmetri (C); det vil sige, at en rotation omkring C vil forekomme i en vinkel på 180eller.

- Hvis k> 1, vil størrelsen af ​​den transformerede figur være større end originalets størrelse.

- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Hvis k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

typen

Homoteten kan også klassificeres i to typer afhængigt af værdien af ​​forholdet (k):

Direkte homoteti

Det sker, hvis konstanten k> 0; det vil sige, homotetiske punkter er på samme side med hensyn til centrum:

Proportionalitetsfaktoren eller forholdet mellem lighed mellem direkte homotetiske tal vil altid være positivt.

Omvendt homotetisk

Det sker, hvis den konstante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Proportionalitetsfaktoren eller forholdet mellem lighed mellem de homotetiske inverse figurer vil altid være negativt.

sammensætning

Når flere bevægelser foretages successivt, indtil der opnås en figur svarende til originalen, opstår der en sammensætning af bevægelser. Sammensætningen af ​​flere bevægelser er også en bevægelse.

Sammensætningen mellem to homothecier resulterer i en ny homothecia; det vil sige, at vi har en homotetisk produkt, hvor centret vil blive justeret med midten af ​​de to originale transformationer, og forholdet (k) er produktet af de to grunde.

Således i sammensætningen af ​​to H homothecer1(O1, k1) og H2(O2, k2), multiplicere dine grunde: k1 x k2 = 1 vil resultere i en homothet af forholdet k3 = K1 x k2. Centret for denne nye homoteti (O3) vil være placeret på O-lige1 O2.

Homotetien svarer til en flad og irreversibel ændring; hvis der anvendes to homothecer, der har samme center og forhold, men med et andet tegn, vil den oprindelige figur blive opnået.

eksempler

Første eksempel

Anvend en homoteti til den givne centerpolygon (O), der ligger 5 cm fra punkt A, og hvis forhold er k = 0,7.

opløsning

Ethvert punkt er valgt som centrum for homotetien, og fra denne stråle er tegnet af figurernes hjørner:

Afstanden fra centrum (O) til punkt A er OA = 5; med dette kan du bestemme afstanden til et af de homotetiske punkter (OA ') ved også at k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Processen kan udføres for hvert hjørne, eller du kan også tegne den homotetiske polygon, der husker at de to polygoner har parallelle sider:

Endelig ser transformationen sådan ud:

Andet eksempel

Anvend en homoteti på den givne centerpolygon (O), der ligger 8,5 cm fra punkt C, og hvis y-forhold k = -2.

opløsning

Afstanden fra centrum (O) til punkt C er OC = 8,5; med disse data er det muligt at bestemme afstanden for et af homotetiske punkter (OC '), idet man også ved, at k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Efter at have tegnet segmenterne af de transformerede polygoners hjørner har vi, at de indledende punkter og deres homotetik er placeret i de modsatte ender med hensyn til midten:

referencer

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Teknisk tegning: aktiviteter notesbog.
  2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Affinitet, homologi og homoteti.
  3. Baer, ​​R. (2012). Lineær Algebra og Projektiv Geometri. Courier Corporation.
  4. Hebert, Y. (1980). Generel matematik, sandsynligheder og statistikker.
  5. Meserve, B. E. (2014). Grundlæggende begreber for geometri. Courier Corporation.
  6. Nachbin, L. (1980). Introduktion til algebra. Reverte.