Multiplikative Princip Counting Teknikker og Eksempler



den multiplikative princip er en teknik, der bruges til at løse tællerproblemer for at finde løsningen uden at det er nødvendigt at liste dets elementer. Det er også kendt som det grundlæggende princip i kombinatorisk analyse; er baseret på successiv multiplikation for at bestemme, hvordan en begivenhed kan forekomme.

Dette princip fastslår, at hvis en beslutning (d1) kan tages på n veje og en anden beslutning (d2) kan tages på m måder, det samlede antal måder, hvorpå beslutninger kan træffes1 og d2 vil være lig med multiplicere af n * m. Ifølge princippet foretages hver beslutning efter hinanden: antal måder = N1 * N2... * Nx måder.

indeks

  • 1 Eksempler
    • 1.1 Eksempel 1
    • 1.2 Eksempel 2
  • 2 tælle teknikker
    • 2.1 Princippet om tilsætning
    • 2.2 Princippet om permutation
    • 2.3 Kombinationsprincip
  • 3 øvelser løst
    • 3.1 Øvelse 1
    • 3.2 Øvelse 2
  • 4 referencer

eksempler

Eksempel 1

Paula planlægger at gå i biograf med sine venner, og for at vælge tøjet, hun vil bære, adskiller jeg 3 bluser og 2 nederdele. Hvor mange måder kan Paula klæde sig på??

opløsning

I dette tilfælde skal Paula træffe to beslutninger:

d1 = Vælg mellem 3 bluser = n

d2 = Vælg mellem 2 nederdele = m

På den måde har Paula n * m beslutninger om at gøre eller forskellige måder at klæde sig på.

n * m = 3* 2 = 6 beslutninger.

Multiplikationsprincippet kommer fra trædiagrammets teknik, hvilket er et diagram der vedrører alle mulige resultater, således at hver kan forekomme et begrænset antal gange.

Eksempel 2

Mario var meget tørstig, så han gik til bageriet for at købe en saft. Luis svarer ham og fortæller ham, at han har to størrelser: store og små; og fire smag: æble, appelsin, citron og drue. Hvor mange måder kan Mario vælge saften?

opløsning

I diagrammet kan det bemærkes, at Mario har 8 forskellige måder at vælge saften på, og at dette resultat som ved multiplikationsprincippet opnås ved multiplikationen af ​​n*m. Den eneste forskel er, at gennem dette diagram kan du vide, hvordan er de måder, hvorpå Mario vælger saften.

På den anden side, når antallet af mulige resultater er meget stort, er det mere praktisk at anvende multiplikationsprincippet.

Tælle teknikker

Tælle teknikker er metoder, der bruges til at foretage en direkte tælling og dermed kende antallet af mulige arrangementer, som elementerne i et givet sæt kan have. Disse teknikker er baseret på flere principper:

Princippet om tilsætning

Dette princip fastslår, at hvis to hændelser m og n ikke kan forekomme på samme tid, kan antallet af måder, hvorpå den første eller anden hændelse kan forekomme, være summen af ​​m + n:

Antal formularer = m + n ... + x forskellige former.

eksempel

Antonio ønsker at tage en tur, men beslutter ikke til hvilken destination; På South Tourism Agency tilbyder de dig en forfremmelse for at rejse til New York eller Las Vegas, mens Øst Turismagentur anbefaler dig at rejse til Frankrig, Italien eller Spanien. Hvor mange forskellige rejsealternativer tilbyder Antonio?

opløsning

Med det sydlige turismeagentur Antonio har 2 alternativer (New York eller Las Vegas), mens med øst turisme agenturet har 3 muligheder (Frankrig, Italien eller Spanien). Antallet af forskellige alternativer er:

Antal alternativer = m + n = 2 + 3 = 5 alternativer.

Princippet om permutation

Det handler om at bestille specifikt alle eller nogle af de elementer, der udgør et sæt, for at lette tællingen af ​​alle mulige arrangementer, der kan laves med elementerne.

Antallet af permutationer af n forskellige elementer, taget alle på én gang, er repræsenteret som:

nPn = n!

eksempel

Fire venner vil tage et billede og ønsker at vide, hvor mange forskellige former der kan bestilles.

opløsning

Du vil gerne vide sæt af alle mulige måder, hvorpå de 4 personer kan placeres for at tage billedet. Så skal du:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 forskellige måder.

Hvis antallet af permutationer af n ledige elementer tages af dele af et sæt, der er dannet af r-elementer, er det repræsenteret som:

nPr = n! ÷ (n - r)!

eksempel

I et klasseværelse er der 10 stillinger. Hvis 4 studerende deltager i klassen, på hvor mange forskellige måder kan eleverne optage stillingerne?

opløsning

Det samlede antal sæt af stole er 10, og kun disse 4 vil blive brugt. Den givne formel anvendes til at bestemme antallet af permutationer:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 måder at fylde indlæggene på.

Der er tilfælde, hvor nogle af de tilgængelige elementer i et sæt gentages (de er de samme). For at beregne antallet af arrangementer, der tager alle elementer på én gang, anvendes følgende formel:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

eksempel

Hvor mange forskellige ord med fire bogstaver kan dannes fra ordet "ulv"?

opløsning

I dette tilfælde har vi 4 elementer (breve), hvoraf to af dem er nøjagtigt ens. Ved anvendelse af den givne formel ved vi, hvor mange forskellige ord der er:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 forskellige ord.

Princippet om kombination

Det handler om at fastsætte alle eller nogle af de elementer, der danner et sæt uden en bestemt rækkefølge. For eksempel, hvis du har et XYZ array, vil det være identisk med ZXY, YZX, ZYX arrays, blandt andre; det skyldes, at elementerne i hvert arrangement er trods det samme, men ikke i samme rækkefølge.

Når nogle elementer (r) af sættet (n) tages, er kombinationsprincippet givet ved hjælp af følgende formel:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

eksempel

I en butik sælger de 5 forskellige typer chokolade. Hvor mange forskellige måder kan du vælge 4 chokolader?

opløsning

I dette tilfælde skal du vælge 4 chokolader af de 5 typer, der sælges i butikken. Den rækkefølge, de vælges i, betyder ikke noget, og derudover kan en type chokolade vælges mere end to gange. Ved anvendelse af formlen skal du:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 forskellige måder at vælge 4 chokolader.

Når alle elementer (r) af sættet (n) er taget, er kombinationsprincippet givet ved hjælp af følgende formel:

nCn = n!

Løste øvelser

Øvelse 1

Du har et baseballhold med 14 medlemmer. På hvor mange måder kan du tildele 5 positioner til et spil?

opløsning

Sættet består af 14 elementer, og du vil tildele 5 specifikke positioner; det vil sige, at ordren betyder noget. Den permutative formel anvendes, hvor n tilgængelige elementer tages af dele af et sæt, der er dannet af r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Hvor n = 14 og r = 5. Det er substitueret i formlen:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 måder at tildele de 9 spilpositioner.

Øvelse 2

Hvis en familie på 9 medlemmer går på tur og køber deres billetter med sammenhængende pladser, hvor mange forskellige måder kan de sidde på?

opløsning

Det er omkring 9 elementer, der vil optage 9 pladser i træk.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 forskellige måder at sidde på.

referencer

  1. Hopkins, B. (2009). Ressourcer til Undervisning Diskret Matematik: Klasseværelsesprojekter, Historiemoduler og Artikler.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskret matematik Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L.A. (2012). Finite og Discrete Math Problem Solver. Research & Education Association Redaktører.
  4. Padró, F.C. (2001). Diskret matematik Politec. af Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Matematik for anvendt videnskab. Reverte.