Bemærkelsesværdige produkter forklaring og øvelser løst



den bemærkelsesværdige produkter er algebraiske operationer, hvor multiplikationer af polynomier, som ikke behøver at være traditionelt løst, men med kan findes ved hjælp af visse regler de samme resultater er udtrykt.

Polynomier multipliceres med sig selv, derfor kan de have et stort antal udtryk og variabler. For at gøre processen kortere anvendes reglerne for de bemærkelsesværdige produkter, som gør det muligt at foretage multiplikationer uden at skulle gå efter sigt..

indeks

  • 1 bemærkelsesværdige produkter og eksempler
    • 1.1 Binomial kvadreret
    • 1.2 Produkt af konjugerede binomials
    • 1.3 Produkt af to binomials med en fælles betegnelse
    • 1.4 Polynomisk kvadreret
    • 1.5 Binomial til terningen
    • 1,6 Spand af et trinomialt
  • 2 øvelser løst for bemærkelsesværdige produkter
    • 2.1 Øvelse 1
    • 2.2 Øvelse 2
  • 3 referencer

Bemærkelsesværdige produkter og eksempler

Hver bemærkelsesværdige produkt er en formel, der er en faktoriseringsmetoder polynomier sammensat af forskellige udtryk som par eller trinomial, kaldet faktorer.

Faktorerne er grundlaget for en magt og har en eksponent. Når faktorerne multipliceres, skal eksponenterne tilføjes.

Der er flere bemærkelsesværdige produktformler, nogle er mere brugte end andre, afhængigt af polynomerne, og de er følgende:

Binomial kvadreret

Det er i sig selv en multiplikation af et binomial, udtrykt i form af magt, hvor termerne tilføjes eller subtraheres:

a. Binomial af summen til firkanten: er lig med kvadratet af første term, plus to gange produktets indhold, plus kvadratet af andet sigt. Det udtrykkes som følger:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Nedenstående figur viser, hvordan produktet udvikles i henhold til ovennævnte regel. Resultatet kaldes trinomialet af et perfekt firkant.

Eksempel 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Eksempel 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Binomial af en subtraktion kvadreret: Den samme regel gælder for binomialet af en sum, kun at i dette tilfælde er anden term negativ. Dens formel er følgende:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +2. * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Eksempel 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Produkt af konjugerede binomials

To binomials er konjugeret, når de andre udtryk i hver er af forskellige tegn, det vil sige den første er positiv og den anden negativ eller vice versa. Løs ved at hæve hver monomy firkant og subtrahere. Dens formel er følgende:

(a + b) * (a - b)

I det følgende billede udvikles produktet af to konjugerede binomialer, hvor det observeres, at resultatet er en kvadratforskel.

Eksempel 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Produkt af to binomials med en fælles betegnelse

Det er en af ​​de mest komplekse og små brugte bemærkelsesværdige produkter, fordi det er en multiplikation af to binomials, der har en fælles betegnelse. Reglen angiver følgende:

  • Firkanten af ​​den fælles betegnelse.
  • Plus tilføj de udtryk, der ikke er almindelige, og multiplicér dem derefter med det almindelige udtryk.
  • Plus summen af ​​multiplikationen af ​​udtryk, der ikke er almindelige.

Det er repræsenteret i formlen: (x + a) * (x + b) og den er udviklet som vist på billedet. Resultatet er en firkantet trinomial ikke perfekt.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Der er en mulighed for, at den anden term (den anden term) er negativ, og dens formel er følgende: (x + a) * (x - b).

Eksempel 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Det kan også være tilfældet, at begge forskellige udtryk er negative. Dens formel vil være: (x - a) * (x - b).

Eksempel 3

(3b-6) * (3b-5) = (3b * 3b) + (-6-5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b-6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b-6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Firkantet polynom

I dette tilfælde er der mere end to begreber til at udvikle og hver er kvadreret og lægges sammen med den dobbelte multiplikation af en anden sigt; dens formel er: (a + b + c)2 og resultatet af operationen er en trinomisk kvadreret.

Eksempel 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4Z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16Z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial til terningen

Det er et bemærkelsesværdigt komplekst produkt. For at udvikle det multipliceres binomialet ved sin firkant på følgende måde:

a. For binomialet til terningen af ​​en sum:

  • Den første termins kube plus den tredobbelte af kvadratet af første sigt ved den anden.
  • Plus tredobbelt første sigt, for den anden kvadreret.
  • Plus den anden termins kube.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (en2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2.2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3.2b + 3ab2 + b3.

Eksempel 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. For binomialet til kuben af ​​en subtraktion:

  • Den første termins kube, minus den tredobbelte af kvadratet af første sigt ved den anden.
  • Plus tredobbelt første sigt, for den anden kvadreret.
  • Mindre kubus af anden sigt.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (en2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2.2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = til3 - 3.2b + 3ab2 - b3.

Eksempel 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Spand af et trinomialt

Det udvikler sig ved at gange det ved sin firkant. Det er en meget omfattende bemærkelsesværdig produkt, fordi de har 3 høje vilkår tern, plus tre gange hver sigt kvadreret multipliceret med hver af de vilkår, mere end seks gange produktet af tre begreber. Set på en bedre måde:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (en2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + 3.2b + 3ab2 + 3.2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Eksempel 1

Løste øvelser af bemærkelsesværdige produkter

Øvelse 1

Udvikle følgende binomial til terningen: (4x - 6)3.

opløsning

Minder om, at et binomial til terningen er lig med det første udtryk hævet til terningen, mindre tredobbelt af kvadratet af første sigt ved det andet; plus den tredobbelte af den første sigt, ved den anden kvadrat, minus kubus af anden sigt.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Øvelse 2

Udvikle følgende binomial: (x + 3) (x + 8).

opløsning

Der er en binomial, hvor der er et almindeligt begreb, som er x og det andet udtryk er positivt. For at udvikle det skal du kun firkantede det almindelige udtryk plus summen af ​​de udtryk, der ikke er almindelige (3 og 8) og derefter formere dem med det almindelige udtryk plus summen af ​​multiplikationen af ​​udtryk, der ikke er almindelige.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

referencer

  1. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra. Pearson Education,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  3. Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. Det Forenede Kongerige: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Elementær og mellemliggende algebra: En kombineret metode. Florida: Cengage Learning.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.