Del:
Hvad er trigonometriske grænser? (med opløste øvelser)
den trigonometriske grænser de er grænser for funktioner, således at disse funktioner dannes af trigonometriske funktioner.
Der er to definitioner, der skal kendes for at forstå, hvordan beregningen af en trigonometrisk grænse udføres.
Disse definitioner er:
- Begrænsning af en funktion "f", når "x" har tendens til at "b": det består i at beregne den værdi, som f (x) nærmer sig som "x" tilgange "b" uden at nå "b".
- Trigonometriske funktioner: De trigonometriske funktioner er sine, cosinus og tangentfunktioner, henholdsvis henholdsvis sin (x), cos (x) og tan (x).
De andre trigonometriske funktioner opnås ud fra de tre ovennævnte funktioner.
Funktionsgrænser
For at præcisere begrebet grænse for en funktion, fortsætter med at vise nogle eksempler med enkle funktioner.
- Grænsen for f (x) = 3 når "x" har tendens til at "8" er lig med "3", da funktionen altid er konstant. Ligegyldigt hvor meget "x" er værd, vil værdien af f (x) altid være "3".
- Grænsen for f (x) = x-2 når "x" har tendens til at "6" er "4". Siden når "x" nærmer sig "6", går "x-2" til "6-2 = 4".
- Grænsen for g (x) = x² når "x" har tendens til at "3" er lig med 9, da "x" nærmer sig "3", så kommer "x²" til "3² = 9".
Som det kan ses i de foregående eksempler består beregningen af en grænse af at evaluere den værdi, som "x" har tendens til i funktionen, og resultatet bliver grænseværdien, selvom det kun gælder for kontinuerlige funktioner.
Er der mere komplicerede grænser?
Svaret er ja. Ovennævnte eksempler er de enkleste eksempler på grænser. I beregningsbøgerne er hovedbegrænsningsøvelserne de, der genererer en indetermination af typen 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 og (∞) ^ 0.
Disse udtryk kaldes indeterminationer, da de er udtryk, der matematisk ikke giver mening.
Ud over det, afhængigt af de funktioner, der er involveret i den oprindelige grænse, kan resultatet i forbindelse med løsningen af indeterminationerne være forskellige i hvert enkelt tilfælde.
Eksempler på simple trigonometriske grænser
For at løse grænser er det altid meget nyttigt at kende graferne for de involverede funktioner. Nedenfor ses graferne for sine, cosinus og tangentfunktioner.
Nogle eksempler på simple trigonometriske grænser er:
- Beregn sondets grænse (x), når "x" har tendens til at "0".
Når man ser grafen, kan man se, at hvis "x" nærmer sig "0" (både til venstre og til højre), så går også sinusgrafen til "0". Derfor er grænsen for synd (x), når "x" har tendens til at "0" er "0".
- Beregn grænsen for cos (x), når "x" har tendens til at "0".
Når man ser cosinusgrafen, kan man se, at når "x" er tæt på "0", er cosinusgrafen tæt på "1". Dette indebærer, at grænsen for cos (x) når "x" har tendens til at "0" er lig med "1".
En grænse kan eksistere (være et tal) som i de foregående eksempler, men det kan også ske, at det ikke eksisterer som vist i det følgende eksempel.
- Grænsen for tan (x), når "x" har tendens til at "Π / 2" til venstre er lig med "+ ∞", som det kan ses i grafen. På den anden side er grænsen for tan (x), når "x" har tendens til at "-Π / 2" til højre er lig med "-∞".
Identiteter af trigonometriske grænser
To meget nyttige identiteter ved beregning af trigonometriske grænser er:
- Grænsen for "synd (x) / x" når "x" har tendens til at "0" er lig med "1".
- Grænsen for "(1-cos (x)) / x" når "x" har tendens til at "0" er lig med "0".
Disse identiteter bruges meget ofte, når du har en form for ubestemthed.
Løste øvelser
Løs de følgende grænser ved hjælp af de ovenfor beskrevne identiteter.
- Beregn grænsen for "f (x) = sin (3x) / x" når "x" har tendens til at "0".
Hvis funktionen "f" evalueres i "0", opnås en bestemmelse af type 0/0. Derfor skal vi forsøge at løse dette ubestemthed ved hjælp af de beskrevne identiteter.
Den eneste forskel mellem denne grænse og identitet er nummeret 3, der vises inden for sinusfunktionen. For at anvende identiteten skal funktionen "f (x)" omskrives på følgende måde "3 * (sin (3x) / 3x)". Nu er både argumentet for sinus og nævneren ens.
Så når "x" har tendens til at "0", bruger identiteten resultater i "3 * 1 = 3". Derfor er grænsen for f (x), når "x" har tendens til at "0" er lig med "3".
- Beregn grænsen for "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" når "x" har tendens til at "0".
Når "x = 0" er substitueret i g (x), opnås en bestemmelse af typen ∞-∞. For at løse det subtraheres fraktionerne, hvilket giver resultatet "(1-cos (x)) / x".
Nu, når vi anvender den anden trigonometriske identitet, har vi grænsen for g (x), når "x" har tendens til at "0" er lig med 0.
- Beregn grænsen for "h (x) = 4tan (5x) / 5x" når "x" har tendens til at "0".
Igen, hvis du vurderer h (x) til "0", får du en bestemmelse af type 0/0.
Omskrivning tan (5x) som synd (5x) / cos (5x), resulterer i, at h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).
Ved anvendelse af grænsen 4 / cos (x) når "x" har tendens til at "0" er lig med "4/1 = 4", og den første trigonometriske identitet opnås, at grænsen for h (x) når "x" en "0" svarer til "1 * 4 = 4".
observation
Trigonometriske grænser er ikke altid lette at løse. I denne artikel blev der kun vist grundlæggende eksempler.
referencer
- Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematik: en problemløsende tilgang (2, illustreret udgave). Michigan: Prentice Hall.
- Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
- Larson, R. (2010). precalculus (8 udg.). Cengage Learning.
- Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Flad Analytisk Geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionel Venezolana C. A.
- Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
- Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beregning (Niende udgave). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Differential calculus med tidlige transcendentale funktioner til videnskab og teknik (Anden udgave ed.). hypotenusen.
- Scott, C.A. (2009). Cartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (genoptryk ed.). Lynkilde.
- Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.