Hvad er skråt trekanter? (med løste øvelser)



den skrå trekanter er de trekant, der ikke er rektangler. Det er trekanter, således at ingen af ​​vinklerne er i rette vinkel (dens mål er 90º).

Har ingen ret vinkel, kan den pythagoriske sætning ikke anvendes på disse trekanter.

For at kende dataene i et skråt trekant er det derfor nødvendigt at anvende andre formler.

Formlerne, der er nødvendige for at løse en skråkantet trekant, er de såkaldte love of cosines og cosines, som vil blive beskrevet senere.

Ud over disse love er det altid muligt at bruge summen af ​​de tre vinkels indre vinkler på 180º..

Skrå trekant

Som det blev sagt i begyndelsen, er et skråt trekant en trekant sådan, at ingen af ​​sine vinkler måler 90º.

Problemet med at finde længderne af siderne i en trekant uligesidet og finde måler vinkler, kaldes "Løsning Oblique trekanter".

Et vigtigt faktum, når man arbejder med trekanter, er at summen af ​​de tre indre vinkler af en trekant er lig med 180º. Dette er et generelt resultat, derfor kan det også anvendes til skråt trekanter.

Bryster og cosinuslove

Givet en trekant ABC med sider af længden "a", "b" og "c":

- Den sinusrelation, at en / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), hvor A, B og C er det modsatte af "a", "b" og "c" vinkler henholdsvis.

- Cosinusloven siger at: c² = a² + b2 - 2ab * cos (C). Tilsvarende kan følgende formler anvendes:

b2 = a2 + c2 - 2ac * cos (B) eller a2 = b2 + c2 - 2bc * cos (A).

Ved hjælp af disse formler kan du beregne dataene i en skrå vinkel-trekant.

uddannelse

Her er nogle øvelser, hvor du skal finde de manglende data for de viste trekanter fra visse data.

Første øvelse

Givet en trekant ABC sådan at A = 45º, B = 60º og a = 12cm, beregner de andre data i trekanten.

opløsning

Ved hjælp af dette er summen af ​​en trekants indre vinkler lig med 180º, du skal

C = 180º-45º-60º = 75º.

De tre vinkler er allerede kendt. Så fortsæt med at bruge brugenes lov til at beregne de to sider, der mangler.

De ligninger, der udgøres, er 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Fra den første ligestilling kan du rydde "b" og få det

b = 12 * synd (60º) / synd (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

Du kan også rydde "c" og få det

c = 12 * synd (75º) / synd (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392 cm.

Andet øvelse

I betragtning af trekant ABC sådan at A = 60º, C = 75º og b = 10cm, beregner de andre data i trekanten.

opløsning

Som i den foregående øvelse, B = 180º-60º-75º = 45º. Endvidere anvendelse af sinusrelation man har, at en / sin (60) = 10 / sin (45) = c / sin (75 °), hvoraf det resultater, som en = 10 * sin (60 °) / sin (45 °) = 5√6 ≈ 12.247 cm c = 10 * sin (75 °) / sin (45) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Tredje øvelse

I betragtning af trekant ABC sådan at a = 10cm, b = 15cm og C = 80º, beregnes de andre data i trekanten.

opløsning

I denne øvelse er kun en vinkel kendt, derfor kan du ikke starte som i de to tidligere øvelser. Også brysterloven kan ikke anvendes, fordi ingen ligning kunne løses.

Derfor fortsætter vi med at anvende cosinusloven. Det er da det

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

således at c ≈ 16,51 cm. Nu ved at kende de 3 sider, bliver brugen af ​​brysterne brugt, og du får det

10 / synd (A) = 15 / synd (B) = 16,51 cm / synd (80º).

Herfra, ved clearing B, er det uden (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, hvilket indebærer, at B ≈ 63.38º.

Nu kan det opnås at A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Fjerde øvelse

Siderne af en skrå trekant er a = 5cm, b = 3cm og c = 7cm. Beregn vinklerne i trekanten.

opløsning

Igen kan brysterloven ikke anvendes direkte, da ingen ligning ville tjene til at opnå værdien af ​​vinklerne.

Anvendelse cosinus retten skal c² = a² + b² - 2AB cos (C), hvor clearing skal cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 og derfor C = 120º.

Nu, hvis du kan anvende den sinusrelation og få 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120th), hvor man kan rydde B og få det uden (B) = 3 * synd (120º) / 7 = 0.371, således at B = 21.79º.

Endelig beregnes den sidste vinkel ved hjælp af A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

referencer

  1. Landaverde, F. d. (1997). geometri (Reprint ed.). fremskridt.
  2. Leake, D. (2006). trekanter (illustreret udgave). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
  4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). geometrier. CR-teknologi.
  5. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometri og Analytisk Geometri. Pearson Education.