Tekniske tælleteknikker, applikationer og eksempler



den tælle teknikker er en række sandsynlighedsmetoder til at tælle det mulige antal arrangementer inden for et sæt eller flere sæt objekter. Disse bruges til at gøre kontiene manuelt komplicerede på grund af det store antal objekter og / eller variabler.

Løsningen på dette problem er for eksempel meget enkel: forestil dig, at din chef beder dig om at tælle de sidste produkter, der er ankommet i den sidste time. I dette tilfælde kan du gå og tælle produkterne en efter en.

Men forestil dig, at problemet er dette: din chef beder dig regne, hvor mange grupper af 5 produkter af samme type kan dannes med dem, der er ankommet den sidste time. I dette tilfælde bliver beregningen kompliceret. De såkaldte tælleteknikker anvendes til denne type situation.  

Disse teknikker er adskillige, men de vigtigste er opdelt i to grundlæggende principper, som er multiplikativet og additivet; permutationer og kombinationer.

indeks

  • 1 multiplikationsprincip
    • 1.1 Ansøgninger
    • 1.2 Eksempel
  • 2 additivprincip 
    • 2.1 applikationer
    • 2.2 Eksempel
  • 3 Permutationer
    • 3.1 Ansøgninger
    • 3.2 Eksempel
  • 4 kombinationer
    • 4.1 ansøgninger
    • 4.2 Eksempel
  • 5 referencer 

Multiplikationsprincip

applikationer

Multiplikationsprincippet, sammen med additivet, er grundlæggende for at forstå driften af ​​tællingsteknikker. I tilfælde af multiplikativet består det af følgende:

Forestille sig en aktivitet, der involverer et bestemt antal trin (det samlede mærke det som "r"), hvor det første trin kan udføres på måder N1, N2 det andet trin og trinnet "r" nr måder. I dette tilfælde kan aktiviteten udføres fra antallet af formularer, der er resultatet af denne operation: N1 x N2 x ... .x Nr formularer

Derfor kaldes dette princip multiplikativt, og det betyder, at hver eneste af de trin, der er nødvendige for at udføre aktiviteten, skal gøres en efter en. 

eksempel

Lad os forestille os en person, der ønsker at opbygge en skole. For at gøre dette kan man overveje, at bygningen kan bygges på to forskellige måder, cement eller beton. Hvad angår væggene, kan de laves af adobe, cement eller mursten.

Med hensyn til taget kan den konstrueres af cement eller galvaniseret plade. Endelig kan det endelige maleri kun udføres på en måde. Det spørgsmål, der opstår, er følgende: Hvor mange måder skal skolen opbygge??

For det første overvejer vi antallet af trin, som ville være basen, væggene, taget og maleriet. I alt 4 trin, så r = 4.

Følgende ville være at liste N:

N1 = måder at bygge basen på = 2

N2 = måder at bygge væggene på = 3

N3 = måder at lave taget på = 2

N4 = måder at lave maling på = 1

Derfor vil antallet af mulige former beregnes med formlen beskrevet ovenfor:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 måder at fuldføre skolen på.

Additive Princip

applikationer

Dette princip er meget simpelt, og er det i tilfælde af eksisterende flere alternativer til at udføre samme aktivitet, består de mulige måder af summen af ​​de forskellige mulige måder at gøre alle alternativerne til.

Med andre ord, hvis vi udføre en aktivitet tre alternativer, hvor det første alternativ kan udføres M former, den anden N former og last W former, aktiviteten kan udføres: M + N + ... + W former.

eksempel

Forestil dig denne gang en person, der ønsker at købe en tennisracket. Til dette har den tre mærker at vælge imellem: Wilson, Babolat eller Head.

Når han går til butikken, ser han, at Wilson-racketen kan købes med håndtaget i to forskellige størrelser, L2 eller L3, i fire forskellige modeller og kan strækkes eller uden strengning.

Babolat-racketen har på den anden side tre håndtag (L1, L2 og L3), der er to forskellige modeller, og den kan også strækkes eller uden strengning.

Hovedracket er derimod kun med et håndtag, L2, i to forskellige modeller og kun uden strengning. Spørgsmålet er: Hvor mange måder skal denne person købe sin racket??

M = Antal måder at vælge en Wilson-racket på

N = Antal måder at vælge en Babolat racket på

W = Antal måder at vælge et Head Racket på

Vi laver multiplikatorprincippet:

M = 2 x 4 x 2 = 16 former

N = 3 x 2 x 2 = 12 former

W = 1 x 2 x 1 = 2 former

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 måder at vælge en racket på.

At vide, hvornår man skal anvende multiplikationsprincippet og tilsætningsstoffet, skal man bare se på, om aktiviteten har en række trin, der skal udføres, og hvis der er flere alternativer, er additivet.

permutationer

applikationer

For at forstå, hvad en permutation er, er det vigtigt at forklare, hvad en kombination er for at differentiere dem og vide, hvornår de skal bruges.

En kombination ville være et arrangement af elementer, hvor vi ikke er interesserede i den stilling, hver af dem indtager.

En permutation ville derimod være et arrangement af elementer, hvori vi er interesserede i den stilling, hver af dem indtager.

Lad os give et eksempel for bedre at forstå forskellen.

eksempel

Forestil dig en klasse med 35 elever og med følgende situationer:

  1. Læreren ønsker, at tre af hans elever skal hjælpe ham med at holde klassen ren eller levere materialer til andre studerende, når han har brug for det.
  2. Læreren ønsker at udpege klassens delegerede (en præsident, en assistent og en finansør).

Løsningen ville være følgende:

  1. Forestil dig at ved at stemme Juan, Maria og Lucía er valgt til at rengøre klassen eller levere materialerne. Det var klart, at andre grupper på tre personer kunne være blevet dannet blandt de 35 mulige studerende.

Vi må stille os selv følgende: er det vigtigt, at ordren eller den stilling, som hver enkelt studerende optager på tidspunktet for udvælgelsen??

Hvis vi tænker på det, ser vi, at det virkelig ikke er vigtigt, da gruppen både tager sig af begge opgaver. I dette tilfælde er det en kombination, da vi ikke er interesserede i elementernes position.

  1. Forestil dig nu, at John er valgt som præsident, Maria som assistent og Lucia som økonomisk.

I så fald ville ordren være noget? Svaret er ja, fordi hvis vi ændrer elementerne, ændres resultatet. Det vil sige, hvis vi i stedet for at sætte Juan som præsident, satte ham som assistent, og Maria som præsident, ville det endelige resultat ændre sig. I dette tilfælde er det en permutation.

Når forskellen er forstået, vil vi opnå formlerne af permutationer og kombinationer. Men først skal vi definere udtrykket "n!" (Faktorisk), da det vil blive brugt i de forskellige formler.

n! = til produktet fra 1 til n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Brug det med rigtige tal:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3.628.800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Formuleringen af ​​permutationerne ville være følgende:

nPr = n! / (n-r)!

Med det kan vi finde ud af de arrangementer, hvor ordren er vigtig, og hvor n-elementerne er forskellige.

kombinationer

applikationer

Som vi tidligere har kommenteret, er kombinationerne de arrangementer, hvor vi ikke er ligeglade med elementernes placering.

Dens formel er følgende:

nCr = n! / (n-r)! r!

eksempel

Hvis der er 14 studerende, der ønsker at frivilligt til at rengøre klasseværelset, hvor mange rengøringsgrupper kan hver gruppe dannes af 5 personer??

Løsningen ville derfor være følgende:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupper

referencer

  1. Jeffrey, R.C., Sandsynlighed og dommens kunst, Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, "En introduktion til sandsynlighedsteori og dens applikationer", (Vol 1), 3. udgave, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). "Logiske fundamenter og måling af subjektiv sandsynlighed". Psykologisk lov.
  4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduktion til matematisk statistik (6. udgave). Upper Saddle River: Pearson.
  5. Franklin, J. (2001) Videnskaben om formodning: Bevis og sandsynlighed før Pascal,Johns Hopkins University Press.