Hvad er en vektor og hvad er dens egenskaber?

en vektor det er en mængde eller fænomen, der har to uafhængige egenskaber: størrelse og retning. Udtrykket betegner også den matematiske eller geometriske repræsentation af en sådan mængde.

Eksempler på vektorer i naturen er hastighed, kraft, elektromagnetiske felter og vægt. En mængde eller fænomen, der kun viser størrelse, uden specifik retning, kaldes skalar.

Eksempler på skalarer omfatter hastighed, masse, elektrisk modstand og harddisklagringskapacitet.

Vektorer kan repræsenteres grafisk i to eller tre dimensioner. Størrelsen er vist som længden af ​​et segment. Retningen er vist ved orienteringen af ​​segmentet og med en pil i den ene ende.

Illustrationen ovenfor viser tre vektorer i todimensionale rektangulære koordinater (det kartesiske plan) og deres ækvivalenter i polære koordinater.

Vektorerne i fysik

I fysikken, når du har en vektor, skal du tage højde for to mængder: dets retning og dens størrelse. Mængder, der kun har en størrelse kaldes skalarer. Hvis der gives en retning til en skalær mængde, oprettes en vektor.

Visuelt ser du vektorer tegnet som pile, hvilket er perfekt, fordi en pil har en klar retning og en klar størrelse (pilens længde).

I det følgende billede repræsenterer pilen en vektor, der starter ved foden af ​​pilen (også kaldet halen) og ender i hovedet.

I fysik bruges et fed skrift normalt til at repræsentere en vektor, selv om det også kan repræsenteres som et bogstav med en pil på den..

Pilen betyder, at det ikke kun er en skalær værdi, som ville være repræsenteret af A, men også noget med retning.

Forskelle mellem vektor og skalar

Værdier, der ikke er vektorer, er skalære. For eksempel er en sådan mængde på 500 æbler en skalær, den har ingen adresse, den er kun en størrelse. Tiden er en skalar også, den har ingen retning.

Hastigheden er imidlertid en vektor, da den ikke kun angiver en størrelsesorden (hastighed) af ruten, den angiver også retningen (og retningen) af ruten.

For eksempel kan hastighedsvektorens virkningslinje

Vær 30 ° fra vandret. Derfor ved vi i hvilken retning objektet bevæger sig.

Dette angiver dog stadig ikke rejsens retning, uanset om den bevæger sig væk fra eller kommer tættere på os. Derfor specificerer vi også retningen, hvor vektoren virker gennem en pilehoved.

Kraft, acceleration og tilbagelagt afstand er også vektorer. For eksempel, at en bil flyttet 10 meter ikke angiver i hvilken retning den flyttede. For at kunne specificere bevægelsen er det også nødvendigt at angive retning og bevægelsesretning.

Styrken er også en vektor, fordi hvis du trækker en genstand mod dig selv, kommer den tæt på dig, og hvis du skubber objektet væk fra dig. Så kraft har en retning og en følelse, og derfor er det en vektor.

eksempel

Som eksempler på de oplysninger, som en vektor giver, har vi følgende:

Søg efter en guldpose

Antag en lærer fortæller dig: "En pose guld er uden for klasseværelset for at finde den, flytte 20 meter." Denne erklæring vil helt sikkert interessere dig, men der er ikke nok oplysninger indeholdt i erklæringen for at finde guldposen.

Den forskydning, der kræves for at finde guldposen, er ikke blevet beskrevet fuldt ud. På den anden side må du antage, at din lærer siger til dig: "En pose guld er placeret uden for klasseværelset for at finde den bevæger sig fra centrum af døren til klassen 20 meter i retning af 30 ° vest for nord".

Denne erklæring indeholder nu en fuldstændig beskrivelse af forskydningsvektoren, som angiver størrelsen (20 meter) og retningen (30 ° vest for nord) med hensyn til en reference- eller afgangsstilling (i midten af ​​klassedøren). ).

Vektormængder er ikke fuldt beskrevet, medmindre både størrelsen og retningen er angivet.

Bil forskydning

Når vi bevæger os i en bil bruger vi forskellige vektorer. Disse vektorer vises hver gang vi ændrer hastigheden.

Når vi accelererer til at overtage en anden bil, tilføjer vi retnings- og hastighedsvariabler, der udgør en ny vektor.

På den anden side, når vi vil reducere hastigheden, trækker vi vektorer svarende til decelerationen.

I en anden forstand, når vi vender uden at ændre hastigheden, ændrer vi sansen til den vektor, der kommer frem fra bevægelsen af ​​bilen.

Åbn en dør

Når vi åbner en dør bruger vi flere vektorer. For det første skal vi udskrive en kraft i en bestemt retning for at dreje dørens knap, så skal vi skubbe døren i en given retning, trykke en kraft.

Disse kraft- og retningsværdier svarer til de vektorer, der bruges til at åbne en dør. Processen med at lukke en dør vil generere en ny vektor, hvor dens værdi vil være negativ i forhold til den, der oprindeligt blev givet for at åbne den.

Flyt en boks

Når vi ønsker at skubbe en kasse, der er meget tung, skal vi udøve en kraft på sin laterale overflade. Denne kraft skal udøves i en retning, således at kassen kan bevæge sig.

I dette tilfælde vil vektoren skyldes kombinationen af ​​kraft og retning, der anvendes til at bevæge kassen.

Hvis kraften ikke bruges til at skubbe kassen, men at løfte den lodret, vises en ny vektor.

Denne vektor vil bestå af den lodrette akse, på hvilken kassen er hævet og kraften påføres for at løfte den.

Flyt en skakflise

Som det foregående eksempel kan en chesschip flyttes på bordets overflade - i en given retning og ved at anvende en bestemt kraft - for at ændre sin position på brættet, generere en vektor.

Det kan også løftes af brættet og generere en ny vektor lodret.

Tryk på en knap

En botó vil blive presset i kun én retning, givet af det samme system, der indeholder knappen.

For at trykke på den knap er det nødvendigt at anvende en kraft med fingeren. Fra udøvelsen af ​​denne bevægelse vil en vektor resultere.

Spil billard

Handlingen med at slå en billardkugle med trækæden resulterer straks i en vektor, da den har to magnituders effekt: styrke og retning.

En kilde vil blive anvendt til billardkuglen for at flytte den i en bestemt retning. Billardkuglen på bordet har en tidligere etableret sans, som vil afhænge af spillerens beslutning.

Træk en legetøjsbil

Når et barn tager sin legetøjsbil og trækker det på et reb, eller simpelthen manipulerer det med sine hænder, vil han generere talrige vektorer.

Hver gang barnet ændrer hastigheden eller retningen, hvor bilen bevæger sig, vil den oprette en ny vektor.

Variablerne af vektoren, i dette tilfælde, ville bestå af den energi, som barnet anvender på bilen og den retning, som han ønsker at flytte den..

Vektors repræsentation

Vektormængder er ofte repræsenteret af skalerede vektordiagrammer.

Vektordiagrammer repræsenterer en vektor ved at bruge en pil, der er tegnet til skalaen i en bestemt retning. Et passende vektordiagram skal have flere egenskaber:

• En skala er tydeligt angivet.
• En vektorpile tegnes (med pilehoved) i en bestemt retning. Vektorpilen har et hoved og en hale.
• Vektens størrelse og retning er tydeligt mærket.

Adresse på en vektor

Vektorerne kan styres øst, vest, syd og nord. Men nogle vektorer er rettet mod nordøst (45 ° vinkel). Derfor er der et klart behov for at identificere retningen af ​​en vektor, som ikke afhænger af nord, syd, øst eller vest.

Der er en række konventioner til at beskrive retningen af ​​en vektor, men kun to af dem vil blive forklaret nedenfor.

1-retningen af ​​en vektor udtrykkes ofte som en rotationsvinkel af vektoren omkring dens "hale" mod øst, vest, nord eller syd.

For eksempel kan man sige, at en vektor har en adresse på 40 ° nord for vest (hvilket betyder at en vektor peger mod vest er blevet vendt 40 ° mod nordretningen) eller at den har en retning på 65 ° mod øst for syd (hvilket betyder at en vektor peger mod syd har roteret 65 ° østover).

2-retningen af ​​en vektor udtrykkes ofte som en drejevinkel i vektorens modsatte retning. Ved anvendelse af denne konvention er en vektor med en 30 ° retning en vektor, der er drejet 30 ° mod uret mod øst.

En vektor med en 160 ° retning er en vektor, der er roteret 160 ° mod uret mod øst. En vektor med en 270 ° retning er en vektor, der er blevet roteret 270 ° mod uret mod øst.

Magnitude af en vektor

Størrelsen af ​​en vektor i et skaleret vektordiagram er repræsenteret ved pilens længde. Pilen er tegnet med en nøjagtig længde efter en valgt skala.

Hvis du f.eks. Vil tegne en vektor med en størrelse på 20 meter, kan du vælge som skala 1 cm = 5 meter og tegne en pil med en længde på 4 cm.

Ved hjælp af samme skala (1 cm = 5 meter) vil en forskydningsvektor på 15 meter blive repræsenteret af en 3 cm lang vektorpil.

På samme måde repræsenteres en forskydningsvektor på 25 meter med en pil på 5 cm i længden. Og endelig er en forskydningsvektor på 18 meter repræsenteret af en 3,6 cm lang pil.

Andre egenskaber ved vektorer

lighed: det siges at to vektorer er lige, hvis de har samme størrelse og retning. Tilsvarende vil de være lige, hvis deres koordinater er ens.

opposition: To vektorer er modsatte, hvis de har samme størrelsesorden men modsatte retning.

Paralelos: to vektorer er parallelle, hvis de har samme retning, men ikke nødvendigvis den samme størrelsesorden eller modparale, hvis de har den modsatte retning, men ikke nødvendigvis den samme størrelsesorden.

Vector enhed: En enhedsvektor er en vektor med en længde på en.

Vector nul: nulvektoren er vektoren med nul længde. I modsætning til enhver anden vektor har den en vilkårlig eller ubestemt retning og kan ikke normaliseres

referencer

1. Jong IC, Rogers BG. Ingeniørmekanik: statik (1991). Saunders College Publishing.
2. Ito K. Encyclopedic Dictionary of Mathematics (1993). MIT Tryk.
3. Ivanov AB. Encyclopedia of Mathematics (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
5. Lang S. Introduktion til lineær algebra (1986). Springer.
6. Niku S. Engineering principper i hverdagen for ikke-ingeniører (2016). Morgan & Claypool.
7. Pedoe D. Geometri: Et omfattende kursus (1988). Dover.