Dimensionelle analyseteknikker, princippet om homogenitet og øvelser

den dimensionel analyse er et værktøj, der i vid udstrækning anvendes i forskellige fagområder inden for videnskab og teknik for bedre at forstå de fænomener, der involverer tilstedeværelsen af ​​forskellige fysiske størrelser. Størrelserne har dimensioner, og fra disse er de forskellige måleenheder afledt.

Oprindelsen af ​​begrebet dimension er fundet i den franske matematiker Joseph Fourier, der mønter det. Fourier forstod også, at for at to ligninger skal kunne sammenlignes, skal de være homogene med hensyn til deres dimensioner. Det vil sige, du kan ikke tilføje meter med kilo.

Dimensionel analyse er således ansvarlig for at studere størrelser, dimensioner og homogenitet af fysiske ligninger. Af denne grund benyttes det ofte til at kontrollere relationer og beregninger eller at udarbejde hypoteser om komplicerede spørgsmål, som efterfølgende kan testes eksperimentelt..

På denne måde er dimensionanalysen et perfekt værktøj til at registrere fejl i beregningerne, når man kontrollerer kongruens eller inkongruens for de enheder, der anvendes i dem, især med fokus på enhederne af de endelige resultater.

Desuden bruges dimensionanalyse til at projektere systematiske eksperimenter. Det giver mulighed for at reducere antallet af nødvendige eksperimenter, samt at lette fortolkningen af ​​de opnåede resultater.

Et af de grundlæggende grundlag for den dimensionelle analyse er, at det er muligt at repræsentere enhver fysisk mængde som et produkt af magtene af en mindre mængde, kendt som fundamentale mængder, hvorfra resten trækker.

indeks

• 1 Grundlæggende størrelser og dimensionelle formel
• 2 Dimensionelle analyseteknikker
  • 2.1 Rayleigh metode
  • 2.2 Buckingham metode
• 3 Princippet om dimensionel homogenitet
  • 3.1 Princippet om lighed
• 4 applikationer
• 5 øvelser løst
  • 5.1 Første øvelse
  • 5.2 Anden øvelse
• 6 referencer

Grundlæggende størrelser og dimensionelle formel

I fysikken betragtes grundlæggende størrelser som dem, der tillader andre at udtrykke sig i form af disse. Ved konventionen er følgende blevet valgt: længden (L), tiden (T), massen (M), den elektriske strømstyrke (I), temperaturen (θ), lysintensiteten (J) og mængde stof (N).

Tværtimod betragtes resten som afledte mængder. Nogle af disse er: område, volumen, tæthed, hastighed, acceleration, blandt andre.

Matematisk lighed defineres som en dimensionel formel, der præsenterer forholdet mellem en afledt mængde og de grundlæggende.

Dimensionelle analyseteknikker

Der er flere teknikker eller metoder til dimensionel analyse. To af de vigtigste er følgende:

Rayleigh metode

Rayleigh, der var ved siden af ​​Fourier, en af ​​forløberne for dimensionel analyse, udviklede en direkte og meget enkel metode, der giver os mulighed for at opnå dimensionløse elementer. I denne metode følges følgende trin:

1- Den potentielle tegnfunktion af den afhængige variabel er defineret.

2- Hver variabel ændres med dens tilsvarende dimensioner.

3- Homogenitetsbetingelsesligningerne er etableret.

4- De n-p ukendte er faste.

5- Udskift de eksponenter, der er beregnet og fastgjort i den potentielle ligning.

6- Flyt grupperne af variabler for at definere de dimensionsløse tal.

Buckingham Metode

Denne metode er baseret på Buckinghams sætning eller pi-sætning, der angiver følgende:

Hvis der er et forhold på et homogent dimensionalt niveau mellem et tal "n" med fysiske størrelser eller variabler, hvor "p" forskellige grundlæggende dimensioner forekommer, er der også et forhold mellem homogenitet mellem n-p, uafhængige dimensionsløse grupper.

Princippet om dimensionel homogenitet

Fourier-princippet, også kendt som princippet om dimensionel homogenitet, påvirker den korrekte strukturering af udtryk, der knytter fysiske mængder algebraisk.

Det er et princip, der har matematisk konsistens og siger, at den eneste mulighed er at subtrahere eller sammenføje fysiske størrelser, der er af samme art. Derfor er det ikke muligt at tilføje en masse med en længde eller en tid med en overflade mv..

På samme måde hedder princippet, at for de fysiske ligninger, som skal være korrekte på dimensionsniveau, skal de samlede vilkår for medlemmerne af de to sider af ligestilling have den samme dimension. Dette princip tillader at sikre sammenhængen mellem de fysiske ligninger.

Princippet om lighed

Princippet om lighed er en udvidelse af karakteren af ​​homogenitet på det fysiske lignings dimensionelle niveau. Det hedder som følger:

De fysiske love forbliver uændrede i forhold til ændringerne af dimensioner (størrelse) af et fysisk faktum i det samme system af enheder, uanset om de er ændringer af en reel eller imaginær karakter.

Den klareste anvendelse af lighedsprincippet er givet i analysen af ​​de fysiske egenskaber ved en model lavet i mindre skala, for senere at bruge resultaterne i objektet med en reel størrelse.

Denne praksis er grundlæggende på områder som design og fremstilling af fly og skibe og i store hydrauliske arbejder.

applikationer

Blandt de mange anvendelser af dimensionel analyse kan vi fremhæve dem, der er angivet nedenfor.

- Find mulige fejl i de udførte operationer

- Løs problemer, hvis opløsning giver en uoverstigelig matematisk vanskelighed.

- Design og analyser småskala modeller.

- Lav observationer om, hvordan de mulige ændringer i en model påvirker.

Desuden anvendes dimensionanalyse ganske ofte i undersøgelsen af ​​væskemekanik.

Relevansen af ​​dimensionel analyse i væskemekanik skyldes vanskeligheden ved at etablere ligninger i visse strømme såvel som vanskeligheden ved at løse dem, så det er umuligt at få empiriske relationer. Derfor er det nødvendigt at ty til den eksperimentelle metode.

Løste øvelser

Første øvelse

Find den dimensionelle ligning af hastighed og acceleration.

opløsning

Siden v = s / t er det sandt, at: [v] = L / T = L ∙ T^-1

på tilsvarende måde:

a = v / t

[a] = L / T² = L ∙ T^-2

Anden øvelse

Bestem den dimensionelle ligning af bevægelsesmængden.

opløsning

Da momentum er produktet mellem masse og hastighed, er det sandt, at p = m ∙ v

Derfor:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T^-2

referencer

1. Dimensionsanalyse (n.d.). I Wikipedia. Hentet den 19. maj 2018, fra en.wikipedia.org.
2. Dimensionsanalyse (n.d.). I Wikipedia. Hentet den 19. maj 2018, fra en.wikipedia.org.
3. Langhaar, H. L. (1951), Dimensionel analyse og teori af modeller, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Fysik og kemi. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Forståelse fysik. Birkhäuser.