Historisk baggrund for analytisk geometri

den Historisk baggrund for analytisk geometri De går tilbage til det 17. århundrede, da Pierre de Fermat og René Descartes definerede deres grundlæggende idé. Hans opfindelse fulgte moderniseringen af ​​algebra og den algebraiske notation af François Viète.

Dette felt har sine baser i det antikke Grækenland, især i Apollonius og Euclides værker, som havde stor indflydelse på dette område af matematik.

Den væsentlige idé bag analytisk geometri er at et forhold mellem to variabler, så at en er en funktion af den anden, definerer en kurve.

Denne idé blev udviklet for første gang af Pierre de Fermat. Takket være denne væsentlige ramme var Isaac Newton og Gottfried Leibniz i stand til at udvikle beregningen.

Den franske filosof Descartes opdagede også en algebraisk tilgang til geometri, tilsyneladende alene. Descartes 'arbejde med geometri fremgår af hans berømte bog Tale af metoden.

I denne bog er det angivet, at kompassen og de geometriske konstruktioner af lige kanter indbefatter tilsætningen, subtraktionen, multiplikationen og de firkantede rødder.

Analytisk geometri repræsenterer foreningen af ​​to vigtige traditioner i matematik: geometri som studiet af form og aritmetik og algebra, der har at gøre med kvantitet eller tal. Derfor er analytisk geometri undersøgelsen af ​​geometriområdet ved hjælp af koordinatsystemer.

historie

Baggrund for analytisk geometri

Forholdet mellem geometri og algebra har udviklet sig gennem matematikens historie, selvom geometrien nåede en tidligere modenhed.

For eksempel kunne den græske matematiker Euclid organisere mange resultater i sin klassiske bog Elementerne.

Men det var den gamle græske Apollonius af Perga, der forudså udviklingen af ​​analytisk geometri i sin bog keglesnit. Han definerede en konisk som skæringen mellem en kegle og et fly.

Ved hjælp af resultaterne af Euclid i lignende trekanter og cirkeltørring fandt han et forhold givet af afstande fra et punkt "P" af en konisk til to vinkelrette linier, en konisk hovedakse og tangenten ved et endelige punkt af aksen. Apollonius brugte dette forhold til at udlede de grundlæggende egenskaber af conics.

Den efterfølgende udvikling af koordinatsystemer i matematik opstod først, efter at algebraet var modnet takket være islamiske og indiske matematikere.

Indtil renæssancens geometri blev brugt til at retfærdiggøre løsninger på algebraiske problemer, men der var ikke meget, at algebra kunne bidrage til geometri.

Denne situation ville ændre sig ved at vedtage en bekvem notation for algebraiske relationer og udviklingen af ​​begrebet matematisk funktion, som nu var muligt.

XVI Century

I slutningen af ​​sekstende århundrede introducerede den franske matematiker François Viète den første systematiske algebraiske notation ved hjælp af bogstaver til repræsentation af numeriske mængder, både kendte og ukendte.

Han udviklede også kraftige generelle metoder til at arbejde med algebraiske udtryk og løse algebraiske ligninger.

Takket være dette var matematikere ikke helt afhængige af geometriske figurer og geometrisk intuition for at løse problemer.

Selv nogle matematikere begyndte at opgive den standard geometriske måde at tænke på, hvorefter de lineære variabler af længder og kvadrater svarer til områder, mens kubikken svarer til mængderne.

Den første til at tage dette skridt var filosofen og matematikeren René Descartes, og advokaten og matematikeren Pierre de Fermat.

Grundlag for analytisk geometri

Descartes og Fermat grundlagde selvstændigt analytisk geometri i løbet af 1630'erne ved at vedtage Viète-algebra til undersøgelse af geometrisk locus.

Disse matematikere indså, at algebra var et værktøj af stor magt i geometri og opfundet hvad der i dag er kendt som analytisk geometri.

Et forskud de gjorde var at overvinde Viète ved at bruge bogstaver til at repræsentere afstande, som er variable i stedet for faste..

Descartes brugte ligninger til at studere de geometrisk definerede kurver og fremhævede behovet for at overveje de generelle algebraisk-grafiske kurver af polynomækninger i graderne "x" og "y".

For hans side understregede Fermat, at ethvert forhold mellem koordinaterne "x" og "og" bestemmer en kurve.

Ved hjælp af disse ideer omstrukturerede han Apollonius 'erklæringer om algebraiske vilkår og genoprettede nogle af hans tabte værker..

Fermat indikerede, at enhver kvadratisk ligning i "x" og "y" kan placeres i standardformen af ​​en af ​​de koniske sektioner. På trods af dette offentliggjorde Fermat aldrig sit arbejde om emnet.

Takket være dens fremskridt, hvad Archimedes kun kunne løse med store vanskeligheder og for isolerede tilfælde kunne Fermat og Descartes løse det hurtigt og for et stort antal kurver (kendt som algebraiske kurver).

Men hans ideer opnåede kun generel accept gennem andre matematikers indsats i sidste halvdel af det syttende århundrede.

Matematikerne Frans van Schooten, Florimond de Beaune og Johan de Witt hjalp med at udvide Decartes 'arbejde og tilføj vigtige supplerende materialer.

indflydelse

I England populariserede John Wallis analytisk geometri. Han brugte ligninger til at definere kononerne og udlede deres egenskaber. Selv om han frit anvendte negative koordinater, var det Isaac Newton, der brugte to skrå axer til at opdele flyet i fire kvadranter.

Newton og den tyske Gottfried Leibniz revolutionerede matematik i slutningen af ​​det 17. århundrede ved selvstændigt at demonstrere beregningskraften.

Newton viste betydningen af ​​analytiske metoder i geometri og dens rolle i calculus, da han hævdede, at enhver terning (eller en hvilken som helst algebraisk kurve i tredje grad) har tre eller fire standardligninger for egnede koordinatakser. Med hjælp fra Newton selv viste den skotske matematiker John Stirling det i 1717.

Analytisk geometri med tre og flere dimensioner

Selvom både Descartes og Fermat foreslog at anvende tre koordinater til at studere kurver og overflader i rummet, udviklede den tredimensionelle analytiske geometri langsomt frem til 1730.

Matematikerne Euler, Hermann og Clairaut producerede generelle ligninger for cylindre, kegler og overflader af revolution.

For eksempel brugte Euler ligninger til oversættelser i rummet til at transformere den generelle kvadratiske overflade, således at dens hovedakser faldt sammen med dets koordinatakser.

Euler, Joseph-Louis Lagrange og Gaspard Monge lavede analytisk geometri uafhængig af syntetisk geometri (ikke analytisk).

referencer

1. Udviklingen af ​​analytisk geometri (2001). Genoprettet fra encyclopedia.com
2. Historie af analytisk geometri (2015). Gendannet fra maa.org
3. Analyse (Matematik). Gendannet fra britannica.com
4. Analytisk geometri. Gendannet fra britannica.com
5. Descartes og fødslen af ​​analytisk geometri. Gendannet fra sciencedirect.com