Beregning af tilnærmelser ved anvendelse af differencen



En tilnærmelse i matematik er et tal, der ikke er den nøjagtige værdi af noget, men er så tæt på det, at det betragtes som nyttigt som den nøjagtige værdi.

Når der foretages tilnærmelser i matematikken, skyldes det manuelt, at det er svært (eller undertiden umuligt) at kende den nøjagtige værdi af det ønskede.

Hovedværktøjet, når man arbejder med tilnærmelser, er differensen af ​​en funktion.

Den differentielle funktion f, betegnet med AF (x), er simpelthen den afledede af funktionen multipliceret med ændringen i den uafhængige variabel, dvs. Af (x) = f '(x) * Dx.

Nogle gange bruges df og dx i stedet for Δf og Δx.

Tilnærmelser ved brug af differencen

Formlen der anvendes til at skabe en tilnærmelse gennem differencen opstår netop fra definitionen af ​​derivatet af en funktion som en grænse.

Denne formel er givet af:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Her forstås det, at Δx = x-x0, derfor x = x0 + Δx. Ved hjælp af dette kan formlen omskrives som

f (x0 + Δx) ≈f (x0) + f '(x0) * Δx.

Det skal bemærkes, at "x0" ikke er en vilkårlig værdi, men er en værdi således, at f (x0) er let kendt; Desuden er "f (x)" bare den værdi, vi vil tilnærme.

Er der bedre tilnærmelser?

Svaret er ja. Den forrige er den enkleste af tilnærmelserne kaldet "lineær tilnærmelse".

For tilgange bedre kvalitet (den fejl, er mindre) polynomier anvendes mere afledt kaldes "Taylorpolynomier", og der er også andre numeriske metoder, såsom Newton-Raphson fremgangsmåden herunder.

strategi

Strategien til at følge er:

- Vælg en passende funktion f for at udføre tilnærmelsen og værdien "x" sådan at f (x) er den værdi, du vil tilnærme.

- Vælg en værdi "x0", tæt på "x", sådan at f (x0) er let at beregne.

- Beregn Δx = x-x0.

- Beregn derivatet af funktionen og f '(x0).

- Udskift dataene i formlen.

Løste tilnærmelsesøvelser

I hvad der fortsætter er der en række øvelser hvor tilnærmelser laves ved hjælp af differencen.

Første øvelse

Ca. √3.

opløsning

Efter strategien skal en passende funktion vælges. I dette tilfælde kan det ses, at funktionen der skal vælges, skal være f (x) = √x og den omtrentlige værdi er f (3) = √3.

Nu skal vi vælge en værdi "x0" tæt på "3", så f (x0) er let at beregne. Hvis du vælger "x0 = 2", har du at "x0" er tæt på "3", men f (x0) = f (2) = √2 er ikke let at beregne.

Værdien af ​​"x0", der er praktisk, er "4", fordi "4" er tæt på "3" og også f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Hvis "x = 3" og "x0 = 4", så Δx = 3-4 = -1. Nu fortsætter vi med at beregne derivatet af f. Det vil sige f '(x) = 1/2 * √x, så f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Ved at erstatte alle værdierne i formlen får du:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Hvis en regnemaskine anvendes, opnås det, at √3≈1.73205 ... Dette viser, at det foregående resultat er en god tilnærmelse af den reelle værdi.

Anden øvelse

Ca. √10.

opløsning

Som før vælges det som en funktion f (x) = √x og i dette tilfælde x = 10.

Værdien af ​​x0, der skal vælges i denne mulighed er "x0 = 9". Vi har så det Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 og f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Når du vurderer i formlen får du det

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666 ...

Ved hjælp af en regnemaskine får du det √10 ≈ 3.1622776 ... Her kan du også se, at der opnås en god tilnærmelse før.

Tredje øvelse

Ca. ³√10, hvor ³√ betegner den kubiske rod.

opløsning

Det er klart, at den funktion, der skal bruges i denne øvelse, er f (x) = ³√x og værdien af ​​"x" skal være "10".

En værdi tæt på "10" sådan, at dens terningrotte er kendt er "x0 = 8". Så har du til Dx = 10-8 = 2 f (x0) = f (8) = 2. Vi har også f '(x) = 1/3 * ³√x², og dermed f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Ved at erstatte dataene i formlen opnås det at:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Regnemaskinen siger, at ³√10 ≈ 2.15443469 ... Derfor er tilnærmelsen fundet god.

Fjerde øvelse

Ca. ln (1.3), hvor "ln" betegner den naturlige logaritmefunktion.

opløsning

For det første vælges funktionen f (x) = ln (x), og værdien af ​​"x" er 1,3. Nu ved vi lidt om logaritmen, kan vi vide, at ln (1) = 0, og også "1" er tæt på "1,3". Derfor vælges "x0 = 1" og så Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

På den anden side f '(x) = 1 / x, således at f' (1) = 1. Når du vurderer i den givne formel, skal du:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Når du bruger en lommeregner skal du ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Så den foretagne tilnærmelse er god.

referencer

  1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
  2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematik: en problemløsende tilgang (2, illustreret udgave). Michigan: Prentice Hall.
  3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  4. Larson, R. (2010). precalculus (8 udg.). Cengage Learning.
  5. Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Flad Analytisk Geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionel Venezolana C. A.
  6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
  7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beregning (Niende udgave). Prentice Hall.
  8. Saenz, J. (2005). Differential calculus med tidlige transcendentale funktioner til videnskab og teknik (Anden udgave ed.). hypotenusen.
  9. Scott, C.A. (2009). Cartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (genoptryk ed.). Lynkilde.
  10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.