Del:
Sådan får du et Pentagon-område?
den område af en femkant er beregnet ved en fremgangsmåde kendt som triangulering, som kan anvendes til enhver polygon. Denne metode består i at dividere femkantet i flere trekanter.
Herefter beregnes området for hver trekant og endelig tilføjes alle de fundne områder. Resultatet bliver området for femkantet.
Femkantet kunne også opdeles i andre geometriske former, såsom en trapezoid og en trekant, som figuren til højre.
Problemet er, at længden af hovedbasen og trapezens højde ikke er nem at beregne. Derudover skal du beregne højden af den røde trekant.
Sådan beregnes området af en femkant?
Den generelle metode til beregning af en femkants område er triangulering, men metoden kan være direkte eller lidt længere afhængig af om femkant er regelmæssig eller ej..
Område med en regelmæssig femkant
Før beregningen af området er det nødvendigt at vide, hvad apotem er.
Den apothem af en regulær femkant (regulær polygon) er den mindste afstand fra centrum af femkant (polygon) til midtpunktet af den ene side af femkant (polygon).
Med andre ord er apotem længden af linjesegmentet, som går fra midten af femkantet til midtpunktet af en side.
Overvej en almindelig femkant, så længden af siderne er "L". For at beregne din apothem skal du først dividere den centrale vinkel α mellem antallet af sider, dvs. α = 360º / 5 = 72º.
Ved hjælp af trigonometriske forhold beregnes længden af apotem som vist i det følgende billede.
Derfor har apothem en længde på L / 2 tan (36 °) = L / 1,45.
Når du foretager trianguleringen af femkantet får du en figur som den nedenfor.
De fem trekanter har samme område (fordi det er en regelmæssig femkant). Derfor er området af femkantet 5 gange området af en trekant. Det vil sige: område af en femkant = 5 * (L * ap / 2).
Ved at erstatte værdien af apotemet får vi at området er A = 1,72 * L².
Derfor skal du kun kende længden af en side for at beregne området for en almindelig femkant.
Område med en uregelmæssig femkant
Det starter fra en uregelmæssig femkant, således at længderne af siderne er L1, L2, L3, L4 og L5. I dette tilfælde kan apothem ikke bruges som det blev brugt før.
Efter trianguleringen får du en figur som følgende:
Nu fortsætter vi med at tegne og beregne højderne af disse 5 indvendige trekanter.
Derefter arealerne af de indvendige trekanter er T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 og T5 = L5 * h5 / 2.
Værdierne svarende til h1, h2, h3, h4 og h5 er henholdsvis højderne for hver trekant.
Endelig er området af femkantet summen af disse 5 områder. Det vil sige, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Som du kan se, er beregningen af området for en uregelmæssig femkant mere kompleks end beregningen af området med en regelmæssig femkant.
Determinerende for Gauss
Der er også en anden metode, som du kan beregne området for enhver uregelmæssig polygon, kendt som gaussisk determinant.
Denne metode består i at tegne polygonen i det kartesiske plan, hvorefter koordinaterne for hvert hjørne beregnes.
Vinklerne er angivet mod uret og til sidst beregnes visse determinanter for endelig at få området for den pågældende polygon.
referencer
- Alexander, D.C., & Koeberlein, G. M. (2014). Elementær geometri for universitetsstuderende. Cengage Learning.
- Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
- Lofret, E. H. (2002). Bogen af tabeller og formler / Bogen af multiplikationstabeller og formler. amatør.
- Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktisk matematik: aritmetisk, algebra, geometri, trigonometri og lysregulering (genoptryk ed.). Reverte.
- Posamentier, A. S. & Bannister, R. L. (2014). Geometri, dens elementer og struktur: Anden udgave. Courier Corporation.
- Quintero, A.H. & Costas, N. (1994). geometri. Redaktionen, UPR.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). geometrier. Editorial Tecnologica de CR.
- Torah, F. B. (2013). Math. 1. didaktisk enhed ESO, bind 1. Editorial University Club.
- Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (s.f.). Matematik (sjette år). EUNED.