Hvad er summen af ​​firkanterne af to på hinanden følgende tal?



At vide Hvad er summen af ​​kvadraterne af to på hinanden følgende tal, Du kan finde en formel, som det er nok til at erstatte de involverede tal for at opnå resultatet.

Denne formel kan findes på en generel måde, det vil sige den kan bruges til et par sammenhængende tal.

Ved at sige "på hinanden følgende tal" siger vi implicit, at begge tal er heltal. Og når han taler om "firkanterne" henviser han til kvadrering af hvert nummer.

F.eks. Hvis vi betragter tallene 1 og 2, er deres kvadrater 1 ² = 1 og 2 ² = 4, derfor er summen af ​​kvadraterne 1 + 4 = 5.

På den anden side, hvis tallene 5 og 6 er taget, er deres kvadrater 5 ² = 25 og 6 ² = 36, hvor summen af ​​kvadraterne er 25 + 36 = 61.

Hvad er summen af ​​kvadraterne af to på hinanden følgende tal?

Målet er nu at generalisere hvad der er gjort i de foregående eksempler. For dette er det nødvendigt at finde en generel måde at skrive et helt tal på og dens sammenhængende helhed.

Hvis der observeres to på hinanden følgende heltal, for eksempel 1 og 2, kan det ses, at 2 kan skrives som 1 + 1. Også, hvis vi ser på tallene 23 og 24, konkluderer vi, at 24 kan skrives som 23 + 1.

For negative heltal kan denne adfærd også verificeres. I virkeligheden, hvis du overvejer -35 og -36, kan du se det -35 = -36 + 1.

Hvis et hvilket som helst helt tal "n" vælges, er heltalet i træk til "n" derfor "n + 1". Således er der allerede etableret et forhold mellem to på hinanden følgende heltal.

Hvad er summen af ​​firkanterne?

I betragtning af to på hinanden følgende heltal "n" og "n + 1" er deres kvadrater "n²" og "(n + 1) ²". Ved brug af egenskaberne af bemærkelsesværdige produkter kan denne sidste term skrives som følger:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Endelig er summen af ​​kvadraterne af de to på hinanden følgende tal angivet ved udtrykket:

n2 + n2 + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1 = 2n (n + 1) +1.

Hvis den foregående formel er detaljeret, kan det ses, at det er nok at kende det mindste heltal "n" for at vide, hvad summen af ​​kvadraterne er, det vil sige det er nok at bruge de mindre af de to heltal.

Et andet perspektiv af den opnåede formel er: De valgte tal multipliceres, og det opnåede resultat multipliceres med 2 og til sidst tilsættes 1.

På den anden side er den første summand til højre et ensartet tal, og når du tilføjer 1, vil resultatet være underligt. Dette siger, at resultatet af at tilføje kvadraterne af to på hinanden følgende tal altid vil være et ulige tal.

Det kan også bemærkes, at da der er tilføjet to kvadrede tal, vil dette resultat altid være positivt.

eksempler

1.- Overvej heltalene 1 og 2. Det mindste heltal er 1. Ved hjælp af formlen ovenfor konkluderer vi, at summen af ​​kvadraterne er: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Hvilket er i overensstemmelse med de regnskaber, der blev foretaget i begyndelsen.

2.- Hvis heltalene 5 og 6 tages, bliver summen af ​​kvadraterne 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, hvilket også falder sammen med det resultat, der blev opnået i begyndelsen.

3.- Hvis heltalene -10 og -9 vælges, er summen af ​​deres kvadrater: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Lad heltalene i denne mulighed -1 og 0, så summen af ​​deres kvadrater er givet ved 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

referencer

  1. Bouzas, P. G. (2004). Algebra i gymnasiet: Samarbejdsarbejde i matematik. Narcea Editions.
  2. Cabello, R. N. (2007). Beføjelser og rødder. Publicatuslibros.
  3. Cabrera, V. M. (1997). Beregning 4000. Editorial Progreso.
  4. Guevara, M. H. (s.f.). Sættet af hele tallene. EUNED.
  5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
  6. Smith, S. A. (2000). Algebra. Pearson Education.
  7. Thomson. (2006). Passerer GED: Matematik. InterLingua Publishing.