Hvor mange løsninger har en kvadratisk ligning?



En kvadratisk ligning eller ligning i den anden grad kan have nul, en eller to reelle løsninger, afhængigt af koefficienterne, der fremgår af ligningen.

Hvis du arbejder på komplekse tal, kan du sige, at hver kvadratisk ligning har to løsninger.

For at starte en kvadratisk ligning er en ligning af formen ax2 + bx + c = 0, hvor a, b og c er reelle tal og x er en variabel.

Det siges at x1 er en løsning af den foregående kvadratiske ligning, hvis erstatning x ved x1 opfylder ligningen, dvs. hvis a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Hvis du for eksempel har ligningen x²-4x + 4 = 0, så er x1 = 2 løsningen siden (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Tværtimod, hvis x2 = 0 er substitueret, får vi (0) ²-4 (0) + 4 = 4 og som 4 ≠ 0 er x2 = 0 ikke en opløsning af kvadratisk ligning.

Løsninger af en kvadratisk ligning

Antallet af opløsninger af en kvadratisk ligning kan adskilles i to tilfælde, der er:

1.- I de reelle tal

Når man arbejder med reelle tal, kan kvadratiske ligninger have:

-Nul løsninger: Det vil sige, at der ikke er noget reelt tal, der opfylder den kvadratiske ligning. For eksempel er ligningen givet af ligningen x2 + 1 = 0, der ikke noget reelt tal, der opfylder denne ligning, da begge x² er større end eller lig med nul og 1 er strengere end nul, således at summen bliver større strenge det nul.

-En gentagen løsning: der er en enkelt reel værdi, der opfylder den kvadratiske ligning. For eksempel er den eneste løsning på ligningen x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

-To forskellige løsninger: der er to værdier, der tilfredsstiller den kvadratiske ligning. For eksempel har x² + x-2 = 0 to forskellige løsninger, der er x1 = 1 og x2 = -2.

2.- I komplekse tal

Ved arbejde med komplekse tal har de kvadratiske ligninger altid to løsninger, der er z1 og z2, hvor z2 er konjugatet af z1. Derudover kan de klassificeres i:

-kompleks: Løsningerne er af formen z = p ± qi, hvor p og q er reelle tal. Denne sag svarer til det første tilfælde i den foregående liste.

-Rene komplekser: er når den reelle del af løsningen er lig med nul, det vil sige løsningen har formlen z = ± qi, hvor q er et reelt tal. Denne sag svarer til det første tilfælde i den foregående liste.

-Komplekser med imaginær del lig med nul: er, når den komplekse del af opløsningen er lig med nul, det vil sige løsningen er et reelt tal. Denne sag svarer til de to sidste tilfælde af den foregående liste.

Hvordan beregnes opløsningerne af en kvadratisk ligning??

For at beregne opløsningerne af en kvadratisk ligning anvendes en formel kendt som "resolveren", som siger at opløsningerne af en ligning ax² + bx + c = 0 er givet ved udtrykket af følgende billede:

Mængden, der vises inden for kvadratroten, kaldes diskriminanten af ​​den kvadratiske ligning og betegnes med bogstavet "d".

Den kvadratiske ligning vil have:

-To reelle løsninger, hvis, og kun hvis, d> 0.

-En reel løsning gentages, hvis, og kun hvis, d = 0.

-Nul ægte løsninger (eller to komplekse løsninger) hvis, og kun hvis, d<0.

Eksempler:

-Løsningerne i ligningen x² + x-2 = 0 er givet ved:

-Ligningen x²-4x + 4 = 0 har en gentagen løsning, som er givet ved:

-Løsningerne i ligningen x² + 1 = 0 er givet ved:

Som du kan se i dette sidste eksempel, er x2 konjugatet af x1.

referencer

  1. Kilder, A. (2016). BASISK MATHEMATIK. En introduktion til beregning. Lulu.com.
  2. Garo, M. (2014). Matematik: Kvadratiske ligninger.: Sådan løses en kvadratisk ligning. Marilù Garo.
  3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematik for administration og økonomi. Pearson Education.
  4. Jiménez, J., Rofríguez, M. & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. tærskel.
  5. Preciado, C. T. (2005). Matematikkursus 3o. Editorial Progreso.
  6. Rock, N. M. (2006). Algebra jeg er let! Så nemt. Team Rock Press.
  7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Education.