Algebraiske derivater (med eksempler)

den algebraiske derivater de består i undersøgelsen af ​​derivatet i det særlige tilfælde af algebraiske funktioner. Oprindelsen af ​​begrebet derivat går tilbage til det antikke Grækenland. Udviklingen af ​​dette begreb blev motiveret af behovet for at løse to vigtige problemer, en i fysik og den anden i matematik.

I fysikken løser derivatet problemet med at bestemme den øjeblikkelige hastighed af et bevægeligt objekt. I matematik kan du finde tangentlinjen til en kurve på et givet punkt.

Selv om der er rigtig mange flere problemer, der løses ved hjælp af derivatet, samt dens generaliseringer, resultater der kom efter indførelsen af ​​sit koncept.

Pionjere af differentierede beregninger er Newton og Leibniz. Før vi udarbejder den formelle definition, udvikler vi ideen bagfra, ud fra det matematiske og fysiske synspunkt.

indeks

• 1 Derivatet som hældning af tangentlinjen til en kurve
• 2 Derivatet som øjeblikkelig hastighed af et bevægeligt objekt
  • 2.1 Algebraisk funktion
• 3 Afledningsregler
  • 3.1 Afledt af en konstant
  • 3.2 Derivat af en kraft
  • 3.3 Afledt af tilsætning og subtraktion
  • 3.4 Derivat af et produkt
  • 3.5 Afledt af en kvotient
  • 3.6 Kædeens regel
• 4 referencer

Derivatet som hældning af tangentlinjen til en kurve

Antag at grafen for en funktion y = f (x) er en kontinuerlig graf (uden toppe eller hjørner eller separationer), og lad A = (a, f (a)) være et fast punkt på det. Vi vil finde ligningen for tangentlinjen til grafen for funktionen f ved punkt A.

Tag et andet punkt P = (x, f (x)) af grafen, tæt på punkt A, og træk den snitlinie, der passerer gennem A og P. En secantlinie er en linje, der skærer kurvens graf i en eller flere point.

For at opnå den tangentlinje, vi ønsker, skal vi kun beregne hældningen, fordi vi allerede har et punkt på linjen: punkt A.

Hvis vi bevæger punktet P langs grafen og bringer det nærmere og tættere på punkt A, vil den førnævnte sekantlinje nærme den tangentlinje, vi vil finde. Med grænsen når "P har tendens til A", vil begge linjer falde sammen, derfor også dets skråninger.

Hældningen af ​​sneklinien er givet af

At sige, at P nærmer sig A svarer til at sige, at "x" nærmer sig "a". Således vil hældningen af ​​tangentlinjen til grafen for f ved punkt A være lig med:

Ovenstående udtryk er betegnet med f '(a) og defineres som derivatet af en funktion f ved punkt "a". Vi ser det så analytisk ud, at derivatet af en funktion i et punkt er en grænse, men geometrisk er det hældningen af ​​linjen, der er tangent til grafen af ​​funktionen i punktet.

Nu vil vi se denne forestilling ud fra fysikens synspunkt. Vi vil nå frem til samme udtryk for den foregående grænse, men på en anden måde opnå enstemmigheden af ​​definitionen.

Derivatet som øjeblikkelig hastighed af et bevægeligt objekt

Lad os se et kort eksempel på, hvad øjeblikkelig hastighed betyder. Når det siges, for eksempel, at en bil for at nå en destination gjorde det med en hastighed på 100 km pr. Time, hvilket betyder, at den på en time rejste 100 km.

Det betyder ikke nødvendigvis, at bilen hele tiden var 100 km væk, bilens hastighedsmåler kunne i nogle øjeblikke markere mindre eller mere. Hvis han havde behov for at stoppe ved et trafiklys, var hastigheden i det øjeblik 0 km. Men efter en time var ruten 100 km.

Dette er hvad der kaldes gennemsnitshastighed og er givet ved kvoten af ​​den afstodede afstand mellem den forløbne tid, som vi lige har set. Den øjeblikkelige hastighed på den anden side er den der markerer nålen af ​​hastighedsmåleren på en bil i et øjeblik (bestemt tid).

Lad os se på dette nu mere generelt. Antag at et objekt bevæger sig langs en linje, og at denne forskydning er repræsenteret ved hjælp af ligningen s = f (t), hvor variabellen t måler tiden og variablen s forskydningen under hensyntagen til dens begyndelse i det øjeblik t = 0, på hvilket tidspunkt er det også nul, det vil sige f (0) = 0.

Denne funktion f (t) er kendt som en positionsfunktion.

Der søges et udtryk for objektets øjeblikkelige hastighed ved et fast øjeblikkeligt "a". Ved denne hastighed vil vi betegne det ved V (a).

Lad være med at være øjeblikkelig tæt på det øjeblikkelige "a". I tidsintervallet mellem "a" og "t" er positionændringen objektet givet ved f (t) -f (a).

Gennemsnitshastigheden i dette tidsinterval er:

Hvilket er en tilnærmelse af den øjeblikkelige hastighed V (a). Denne tilnærmelse bliver bedre, da t kommer tættere på "a". Derfor,

Vær opmærksom på, at dette udtryk er lig med det, der blev opnået i det foregående tilfælde, men fra et andet perspektiv. Dette er hvad der er kendt som derivatet af en funktion f ved et punkt "a" og er betegnet med f '(a) som angivet ovenfor.

Bemærk at ved at gøre ændringen h = x-a, har vi det, når "x" har tendens til at "a", "h" har tendens til at 0, og den foregående grænse transformeres (ækvivalent) til:

Begge udtryk er ækvivalente, men nogle gange er det bedre at bruge en i stedet for den anden, afhængigt af sagen.

Deraf defineres derivatet af en funktion f mere generelt på et hvilket som helst punkt "x" tilhørende dets domæne som

Den mest almindelige notation til at repræsentere derivatet af en funktion y = f (x) er den, vi netop har set (f 'o og'). En anden udbredt notation er Leibniz-notationen, der er repræsenteret som et af følgende udtryk:

I betragtning af at derivatet i det væsentlige er en grænse, kan det eller ikke eksistere, fordi grænserne ikke altid eksisterer. Hvis det eksisterer, siges det, at den pågældende funktion er differentierbar på det givne punkt.

Algebraisk funktion

En algebraisk funktion er en kombination af polynomier ved hjælp af summer, subtraktioner, produkter, kvoter, kræfter og radikaler.

Et polynom er et udtryk for formularen

P_n= a_nxⁿ+ til_n-1x^n-1+ til_n-2x^n-2+... + a₂x²+ til₁x + a₀

Hvor n er et naturligt tal og alle a_jeg, med i = 0,1, ..., n, er rationelle tal og a_n≠ 0 I dette tilfælde siges det, at graden af ​​dette polynom er n.

Følgende er eksempler på algebraiske funktioner:

Her er eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funktioner ikke inkluderet. De regler for afledning, som vi vil se nedenfor, gælder for funktioner generelt, men vi vil begrænse os selv og anvende dem i tilfælde af algebraiske funktioner.

Bypass regler

Afledt af en konstant

Det fastslår, at derivatet af en konstant er nul. Det vil sige, hvis f (x) = c, så f '(x) = 0. For eksempel er derivatet af den konstante funktion 2 lig med 0.

Afledt af en kraft

Hvis f (x) = xⁿ, så f '(x) = nx^n-1. For eksempel er derivatet af x³ Det er 3x². Som følge heraf opnår vi, at derivatet af identitetsfunktionen f (x) = x er f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Et andet eksempel er følgende: vær f (x) = 1 / x², så f (x) = x^-2 og f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Denne ejendom er også gyldig rødder, fordi rødderne er rationelle kræfter, og du kan også anvende ovenstående i så fald. For eksempel er derivatet af en kvadratrode givet af

Afledt af summen og en subtraktion

Hvis f og g er differentierbare funktioner i x, er summen f + g også forskellig, og at (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogt har vi det (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Med andre ord er derivatet af en sum (subtraktion) summen (eller subtraktionen) af derivaterne.

eksempel

Hvis h (x) = x²+x-1, så

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Afledt af et produkt

Hvis f og g er differentierbare funktioner i x, så er produktet fg også differentierbart i x og det er opfyldt det

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Som følge heraf har vi, at hvis c er en konstant og f er en differentierbar funktion i x, så er cf også differentierbar i x og (cf) '(x) = cf' (X).

eksempel

Hvis f (x) = 3x (x²+1), så

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Afledt af en kvotient

Hvis f og g er differentierbare i x og g (x) ≠ 0, så er f / g også differentierbar i x, og det er sandt, at

eksempel: hvis h (x) = x³/ (x²-5x), så

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Kæde regel

Denne regel tillader afledning af sammensætningen af ​​funktioner. Det fastslår følgende: Hvis y = f (u) er differentierbar i u, er yu = g (x) differentierbar i x, så er forbindelsesfunktionen f (g (x)) differentierbar i x, og det er overbevist om, at [f g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Det vil sige, derivatet af en sammensat funktion er produktet af derivatet af den eksterne funktion (eksternt derivat) ved derivatet af den interne funktion (internt derivat).

eksempel

Hvis f (x) = (x⁴-2x)³, derefter

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Der er også resultater til at beregne derivatet af den inverse af en funktion, såvel som generaliseringen til højere ordensderivater. Ansøgningerne er omfattende. Blandt dem fremhæver de deres hjælpeprogrammer i problemer med optimering og maksimal og minimum af funktioner.

referencer

1. Alarcon, S., González, M. & Quintana, H. (2008). Differential beregning. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Beregning 4000. Editorial Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematik forud for beregning. Universitetet i Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Introduktion til beregning. Tærskel udgaver.
5. Kilder, A. (2016). BASISK MATHEMATIK. En introduktion til beregning. Lulu.com.
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E. (2007). beregning. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Differential beregning (Andet udgave). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Beregning: flere variabler. Pearson Education.