Efterfølgende derivater (med opløste øvelser)

den successive derivater er derivaterne af en funktion efter det andet derivat. Processen til at beregne de successive derivater er som følger: vi har en funktion f, som vi kan udlede og således få den afledte funktion f '. Til dette derivat af f kan vi udlede det igen, opnåelse (f ')'.

Denne nye funktion kaldes anden derivat; alle derivater beregnet fra den anden er successive; Disse, også kaldet højere orden, har store applikationer, som f.eks. At give oplysninger om diagrammet af en funktions graf, den anden afledte test for relative ekstremer og bestemmelsen af ​​uendelige serier.

indeks

• 1 Definition
  • 1.1 Eksempel 1
  • 1.2 Eksempel 2
• 2 Hastighed og acceleration
  • 2.1 Eksempel 1
  • 2.2 Eksempel 2
• 3 applikationer
  • 3.1 Mplificeret afledning
  • 3.2 Eksempel
  • 3.3 Relative ender
  • 3.4 Eksempel
  • 3.5 Taylor-serien
  • 3,6 Eksempel
• 4 referencer

definition

Ved brug af Leibniz notationen har vi, at derivatet af en funktion "og" med hensyn til "x" er dy / dx. For at udtrykke det andet derivat af "og" ved brug af Leibniz notationen skriver vi som følger:

Generelt kan vi udtrykke de successive derivater som følger med Leibniz notationen, hvor n repræsenterer ordren for derivatet.

Andre anvendte notater er følgende:

Nogle eksempler hvor vi kan se de forskellige notationer er:

Eksempel 1

Hent alle derivaterne af funktionen f defineret af:

Ved hjælp af de sædvanlige afledeteknikker har vi, at derivatet af f er:

Ved at gentage processen kan vi få det andet derivat, det tredje derivat og så videre.

Bemærk, at det fjerde derivat er nul, og derivatet af nul er nul, så vi skal:

Eksempel 2

Beregn det fjerde derivat af følgende funktion:

Afledning af den givne funktion har vi som følge heraf:

Hastighed og acceleration

En af de motivationer, der førte til opdagelsen af ​​derivatet, var søgen efter definitionen af ​​øjeblikkelig hastighed. Den formelle definition er følgende:

Lad y = f (t) være en funktion, hvis graf beskriver et partikels bane i et øjeblik t, så er dens hastighed i et øjeblik t givet af:

Når vi har opnået hastigheden af ​​en partikel, kan vi beregne øjeblikkelig acceleration, som er defineret som følger:

Den øjeblikkelige acceleration af en partikel, hvis vej er givet af y = f (t), er:

Eksempel 1

En partikel bevæger sig på en linje i henhold til positionsfunktionen:

Hvor "y" måles i meter og "t" om sekunder.

- På hvilket tidspunkt er din hastighed 0?

- På hvilket tidspunkt er din acceleration 0?

Ved udledning af positionsfunktionen "og" har vi, at dens hastighed og acceleration er givet henholdsvis af:

For at besvare det første spørgsmål er det nok at bestemme, hvornår funktionen v bliver nul; dette er:

Vi fortsætter med følgende spørgsmål analogt:

Eksempel 2

En partikel bevæger sig på en linje ifølge følgende bevægelsesligning:

Bestem "t, y" og "v" når a = 0.

At vide at hastighed og acceleration er givet af

Vi fortsætter med at udlede og opnå:

Ved at gøre a = 0 har vi:

Fra hvilket vi kan udlede, at værdien af ​​t for a at være lig med nul er t = 1.

Derefter skal vi evaluere positionsfunktionen og hastighedsfunktionen ved t = 1:

applikationer

Mplificeret afledning

Efterfølgende derivater kan også opnås ved implicit afledning.

eksempel

I betragtning af følgende ellipse finder du "og":

Afledt implicit med hensyn til x har vi:

Derefter giver vi os ved at genudlede implicit med hensyn til x:

Endelig har vi:

Relative ender

En anden anvendelse, som vi kan give til derivater af anden orden, er i beregningen af ​​relative ender af en funktion.

Kriteriet for det første derivat for lokale ekstremer fortæller os, at hvis vi har en funktion f kontinuerlig i en rækkevidde (a, b), og der eksisterer en c, der tilhører dette interval, således at f'is annulleres i c (dvs. er et kritisk punkt), kan et af disse tre tilfælde forekomme:

- Hvis f '(x)> 0 for enhver x, der tilhører (a, c) og f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Hvis f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 for x tilhørende (c, b), så f (c) er et lokalt minimum.

- Hvis f '(x) har samme tegn (a, c) og i (c, b), betyder det, at f (c) ikke er et lokalt endepunkt.

Ved anvendelse af kriteriet for det andet derivat kan vi vide, om et kritisk tal af en funktion er et maksimum eller et lokalt minimum uden at skulle se, hvad der er tegn på funktionen i ovennævnte intervaller.

Kriteriet for anden afledning fortæller os, at hvis f '(c) = 0 og at f "(x) er kontinuert i (a, b), sker det, at hvis f" (c)> 0 så er f (c) en lokal minimum og hvis f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Hvis f "(c) = 0, kan vi ikke konkludere noget.

eksempel

I betragtning af funktionen f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², find de relative maksima og minima for f, der anvender kriteriet for det andet derivat.

Først beregner vi f '(x) og f "(x), og vi har:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Nu, f '(x) = 0 hvis, og kun hvis 4x (x + 2) (x - 1) = 0, og dette sker når x = 0, x = 1 eller x = - 2.

For at afgøre, om de kritiske tal, der er opnået, er relative ekstremer, er det nok at evaluere i f "og således observere dets tegn.

f "(0) = - 8, så f (0) er et lokalt maksimum.

f "(1) = 12, så f (1) er et lokalt minimum.

f "(- 2) = 24, så f (- 2) er et lokalt minimum.

Taylor-serien

Lad f være en funktion defineret som følger:

Denne funktion har en konvergensradius R> 0 og har derivater af alle ordrer i (-R, R). De successive derivater af f giver os:

Med x = 0 kan vi få værdierne c_n baseret på dets derivater som følger:

Hvis vi tager n = 0 som funktionen f (det vil sige f ^ 0 = f), så kan vi omskrive funktionen som følger:

Overvej nu funktionen som en række kræfter i x = a:

Hvis vi udfører en analog analyse til den foregående, skal vi skrive funktionen f som:

Disse serier er kendt som Taylor-serien af ​​f i a. Når a = 0 har vi det særlige tilfælde, der hedder Maclaurin serien. Denne type af serie er af stor matematisk betydning, især i den numeriske analyse, da takket være disse kan vi definere funktioner i computere som f.eks.^x , synd (x) og cos (x).

eksempel

Få Maclaurin serien til e^x.

Bemærk at hvis f (x) = e^x, så f^(N)(x) = e^x og f^(N)(0) = 1, hvorfor hans Maclaurin-serie er:

referencer

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5ed beregning. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). BEREGNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beregning. Mexico: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Differential beregning. hypotenusen.
5. Saenz, J. (s.f.). Omfattende beregning. hypotenusen.