Additive nedbrydning applikationer, partitioner, grafik



den additiv nedbrydning af et positivt hele tal er at udtrykke det som en sum af to eller flere positive heltal. Således har vi, at tallet 5 kan udtrykkes som 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 eller 5 = 1 + 2 + 2. Hver af disse måder at skrive nummer 5 på er, hvad vi kalder additiv nedbrydning.

Hvis vi er opmærksomme på, kan vi se, at udtrykkene 5 = 2 + 3 og 5 = 3 + 2 repræsenterer samme sammensætning; begge har de samme tal. Men for nemheds skyld er hver af tilføjene normalt skrevet efter kriteriet om mindst til højeste.

indeks

  • 1 Additiv nedbrydning
  • 2 kanonisk additiv nedbrydning
  • 3 applikationer
    • 3.1 Eksempel sætning
  • 4 skillevægge
    • 4.1 Definition
  • 5 grafik
  • 6 referencer

Additiv nedbrydning

Som et andet eksempel kan vi tage nummer 27, som vi kan udtrykke det som:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Additiv nedbrydning er et meget nyttigt værktøj, der giver os mulighed for at styrke vores viden om nummereringssystemerne.

Additiv kanonisk nedbrydning

Når vi har tal på mere end to figurer, er en bestemt måde at nedbryde dem i multiplerne på 10, 100, 1000, 10 000 osv., Der gør det op. Denne måde at skrive et hvilket som helst nummer kaldes kanonisk additiv nedbrydning. For eksempel kan nummeret 1456 opdeles som følger:

1456 = 1000 + 400 + 50 + 6

Hvis vi har nummeret 20 846 295, vil dens kanoniske additiv nedbrydning være:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Takket være denne nedbrydning kan vi se, at værdien af ​​et givet tal er givet af den position, den indtager. Tag tallene 24 og 42 som et eksempel:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Her kan vi observere, at i 24 har 2 en værdi på 20 enheder og 4 en værdi på 4 enheder; på den anden side i 42 har 4 en værdi på 40 enheder og 2 af to enheder. Således, selvom begge tal bruger de samme cifre, er deres værdier helt forskellige ved den position, de besidder.

applikationer

Et af de applikationer, vi kan give til additiv nedbrydning, er i visse typer demonstrationer, hvor det er meget nyttigt at se et positivt hele tal som summen af ​​andre.

Eksempel sætning

Tag som et eksempel følgende sætning med sine respektive demonstrationer.

- Lad Z være et 4-cifret heltal, så Z er deleligt med 5, hvis dets nummer svarer til enhederne er nul eller fem.

show

Husk, hvad der er delbarhed. Hvis vi har "a" og "b" heltal, siger vi at "a" deler "b" hvis der er et helt tal "c" sådan at b = a * c.

En af egenskaberne af delbarhed fortæller os, at hvis "a" og "b" er delelige med "c", er subtraktion "a-b" også delelig med "c".

Lad Z være et 4-cifret heltal; derfor kan vi skrive Z som Z = ABCD.

Ved hjælp af den kanoniske additiv nedbrydning har vi det:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Det er klart, at A * 1000 + B * 100 + C * 10 er delelig med 5. For dette har vi, at Z er delelig med 5, hvis Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) er delelig med 5.

Men Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D og D er et tal af en enkelt figur, så den eneste måde, at den er delelig med 5 er, at den er 0 eller 5.

Derfor er Z delelig med 5 hvis D = 0 eller D = 5.

Bemærk at hvis Z har n cifre, er beviset nøjagtigt det samme, det ændrer kun, som vi nu skriver Z = A1En2... An og målet ville være at bevise at An det er nul eller fem.

skillevægge

Vi siger, at en partition af et positivt heltal er en måde, hvorpå vi kan skrive et tal som en sum af positive heltal.

Forskellen mellem en additiv dekomponering og en partition er, at i det første er det meningen, at det i det mindste kan nedbrydes i to eller flere tilføjelser, i partitionen, som du ikke har denne begrænsning.

Så har vi følgende:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Ovennævnte er partitioner på 5.

Det vil sige, at alle additiver nedbrydning er en partition, men ikke alle partitioner er nødvendigvis en additiv nedbrydning.

I talteori garanterer aritmetikets grundlæggende sætning, at hvert heltal kan skrives entydigt som et produkt af fætre.

Når du studerer partitioner, er målet at bestemme, hvor mange måder du kan skrive et positivt heltal som summen af ​​andre heltal. Derfor definerer vi partitionsfunktionen som vist nedenfor.

definition

Partitionsfunktionen p (n) defineres som antallet af måder, hvorpå et positivt heltal n kan skrives som summen af ​​positive heltal.

Tilbage til eksemplet på 5, skal vi:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

På en sådan måde, p (5) = 7.

grafisk

Både partitionerne og additiv dekomponeringerne af et tal n kan repræsenteres geometrisk. Antag, at vi har en additiv nedbrydning af n. I denne nedbrydning kan tilsætningerne arrangeres således, at medlemmerne af summen bestilles fra laveste til højeste. Så er det værd:

n = a1 + til2 + til3 +... + ar med

til1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ ar.

Vi kan grave denne nedbrydning på følgende måde: i den første række markerer vi1-point, så i det næste markerer vi2-point, og så videre, indtil du kommer tilr.

Tag nummeret 23 og dets følgende nedbrydning som et eksempel:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Vi bestiller denne nedbrydning, og vi har:

23 = 1 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7

Dets tilsvarende graf ville være:

Ligeledes, hvis vi læser grafen lodret i stedet for vandret, kan vi få en nedbrydning, der kan være forskellig fra den foregående. I eksemplet på 23 fremhæves følgende:

Så vi må 23 vi kan også skrive det som:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

referencer

  1. G.H. Hardy og E. M. Wright. En introduktion til talteori. Oxford. Clarendon Press.
  2. Navarro C. Didaktisk Encyclopedia 6. Editorial Santillana, S.A..
  3. Navarro C.Link til matematik 6. Editorial Santillana, S.A..
  4. Niven & Zuckerman. Introduktion til teorien om tal. Limusa.
  5. VV.AA Evaluering Matematisk områdekriterium: En model til grundskoleuddannelse. Wolters Kluwer Uddannelse.
  6. Didaktisk Encyclopedia 6.