Partielle fraktioner og eksempler

den partielle fraktioner de er fraktioner dannet af polynomier, hvor nævneren kan være et lineært eller kvadratisk polynom og derudover kan hæves til en vis effekt. Nogle gange, når vi har rationelle funktioner, er det meget nyttigt at omskrive denne funktion som en sum af partielle fraktioner eller simple fraktioner.

Det er sådan, fordi vi på denne måde kan manipulere disse funktioner på en bedre måde, især i de tilfælde, hvor det er nødvendigt at integrere denne applikation. En rationel funktion er simpelthen kvotienten mellem to polynomier og kan være korrekt eller ukorrekt.

Hvis graden af ​​tællerens polynom er mindre end nævneren, kaldes den sin egen rationelle funktion; ellers er det kendt som en forkert rationel funktion.

indeks

• 1 Definition
• 2 sager
  • 2.1 Sag 1
  • 2.2 Sag 2
  • 2.3 Sag 3
  • 2.4 Sag 4
• 3 applikationer
  • 3.1 Omfattende beregning
  • 3.2 Massehandlinger
  • 3.3 Differensielle ligninger: logistisk ligning
• 4 referencer

definition

Når vi har en forkert rationel funktion, kan vi opdele polynomiet tælleren med nævneren polynomium og derved omskrive fraktionen p (x) / k (x) efter division algoritme som t (x) + s (x) / q (x), hvor t (x) er et polynom og s (x) / q (x) er en rationel funktion af sin egen.

En partiel fraktion er en hvilken som helst ordentlig funktion af polynomier, hvis nævneren er af formen (ax + b)ⁿ o (økse²+ bx + c)ⁿ, hvis den polynomiske økse² + bx + c har ikke reelle rødder og n er et naturligt tal.

For at omskrive en rationel funktion i partielle fraktioner, den første ting at gøre, er at faktor nævneren q (x) som et produkt af faktorer lineære og / eller kvadratisk. Når dette er gjort, bestemmes partielle fraktioner, hvilket afhænger af karakteren af ​​de nævnte faktorer.

sager

Vi overvejer flere sager separat.

Sag 1

Faktorerne for q (x) er alle lineære og ingen gentages. Det er:

q (x) = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂) ... (a_sx + b_s)

Der er ingen lineær faktor identisk med en anden. Når denne sag opstår, skriver vi:

p (x) / q (x) = A₁/ (a₁x + b₁) + A₂/ (a₂x + b₂) ... + A_s/ (a_sx + b_s).

Hvor A₁,En₂,..., A_s er de konstanter, som du vil finde.

eksempel

Vi ønsker at nedbryde den rationelle funktion i simple fraktioner:

(x - 1) / (x³+3x²+2x)

Vi fortsætter med at faktorisere nævneren, det vil sige:

x³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

derefter:

(x - 1) / (x³+3x²+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x + 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Anvendelse af mindst fælles multipel, du kan få det:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Vi ønsker at opnå værdierne af konstanterne A, B og C, som kan findes ved at erstatte de rødder, der annullerer hver af betingelserne. Ved at erstatte 0 for x har vi:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Erstatter - 1 for x har vi:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1).

- 2 = - B

B = 2.

Erstatter - 2 for x har vi:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

På denne måde opnås værdierne A = -1/2, B = 2 og C = -3/2..

Der er en anden metode til at opnå de værdier af A, B og C. Hvis på den højre side af ligningen x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C x (x + 1) x vi kombinerer udtryk, vi har:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Da dette er en ligeværdighed af polynomier, har vi, at koefficienterne på venstre side skal svare til højre side. Dette resulterer i følgende system af ligninger:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Ved løsning af dette system af ligninger opnås resultaterne A = -1/2, B = 2 og C = -3/2.

Endelig erstatter vi de opnåede værdier:

(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Sag 2

Faktorerne for q (x) er alle lineære og nogle gentages. Antag at (ax + b) er en faktor, der gentages "s" gange; så svarer denne faktor til summen af ​​"s" partielle fraktioner.

En_s/ (ax + b)^s + En_s-1/ (ax + b)^s-1 +... + A₁/ (ax + b).

Hvor A_s,En_s-1,..., A₁ de er de konstanter, der skal bestemmes. Med det følgende eksempel vil vi vise, hvordan man bestemmer disse konstanter.

eksempel

Nedbrydes i partielle fraktioner:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

Vi skriver den rationelle funktion som summen af ​​partielle fraktioner som følger:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (x - 2)² + E / (x - 2).

derefter:

x - 1 = a (x - 2)³ + B (x - 2)³x + cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²x²

Ved at erstatte 2 for x, skal vi:

7 = 4C, det vil sige C = 7/4.

Ved at erstatte 0 for x har vi:

- 1 = -8A eller A = 1/8.

Ved at erstatte disse værdier i den foregående ligning og udvikling skal vi:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² +Dx³ - 2Dx² + tidligere²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8B) x - 1.

Ved matchende koefficienter opnår vi følgende system af ligninger:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Løsning af systemet har vi:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

På grund af dette skal vi:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

Sag 3

Faktorerne for q (x) er kvadratiske lineære, uden gentagelse af en kvadratisk faktor. For denne sag er den kvadratiske faktor (økse² + bx + c) svarer til den delvise fraktion (Ax + B) / (ax)² + bx + c), hvor konstanterne A og B er dem, du vil bestemme.

Følgende eksempel viser, hvordan man fortsætter i dette tilfælde

eksempel

Dekomponeres i simple fraktioner a (x + 1) / (x³ - 1).

Først fortsætter vi med at faktor nævneren, hvilket giver os som følge heraf:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Vi kan se det (x² + x + 1) er et irreducerbart kvadratisk polynom; det vil sige, det har ikke reelle rødder. Dens nedbrydning i partielle fraktioner vil være som følger:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

Herved opnås følgende ligning:

x + 1 = (A + B) x² +(A - B + C) x + (A - C)

Ved hjælp af polynomiernes lighed opnår vi følgende system:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Fra dette system har vi A = 2/3, B = - 2/3 og C = 1/3. Udbyder skal vi:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1).

Sag 4

Endelig er sag 4 en, hvori faktorerne for q (x) er lineære og kvadratiske, hvor nogle af de lineære kvadratiske faktorer gentages.

I dette tilfælde ja (ax² + bx + c) er en kvadratisk faktor, der gentages "s" gange, så er den partielle fraktion svarende til faktoren (ax)² + bx + c) vil være:

(A₁x + b) / (ax² + bx + c) + ... + (A_s-1x + b_s-1) / (ax)² + bx + c)^s-1 + (A_sx + b_s) / (ax)² + bx + c)^s

Hvor A_s, En_s-1,..., A og B._s, B_s-1,..., B er de konstanter, du vil bestemme.

eksempel

Vi vil nedbryde følgende rationelle funktion i partielle fraktioner:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

Ligesom x² - 4x + 5 er en irreducerbar kvadratisk faktor, vi har, at dens nedbrydning i partielle fraktioner er givet af:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x +5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

Forenkling og udvikling har vi:

x - 2 = a (x² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Fra ovenstående har vi følgende ligningssystem:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Ved løsning af systemet skal vi:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 og E = - 3/5.

Ved udskiftning af de opnåede værdier har vi:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x-8) / 25 (x² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

applikationer

Omfattende beregning

De partielle fraktioner anvendes primært til undersøgelsen af ​​integreret beregning. Nedenfor ses nogle eksempler på hvordan man laver integraler ved hjælp af partielle fraktioner.

Eksempel 1

Vi ønsker at beregne integralet af:

Vi kan se, at nævneren q (x) = (t + 2)²(t + 1) består af lineære faktorer, hvor en af ​​disse gentages; for dette er vi i sag 2.

Vi skal:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Vi omskriver ligningen, og vi har:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

Hvis t = - 1, skal vi:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Hvis t = - 2, giver det os:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Så, hvis t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

At erstatte værdierne for A og C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Fra ovenstående har vi det B = - 1.

Vi omskriver integralet som:

Vi fortsætter med at løse det ved hjælp af substitutionsmetoden:

Dette resulterer i:

Eksempel 2

Løs følgende integral:

I dette tilfælde kan vi faktor til q (x) = x² - 4 som q (x) = (x - 2) (x + 2). Det er klart, at vi er i 1. Derfor:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Det kan også udtrykkes som:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Hvis x = - 2, har vi:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Og hvis x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Således må vi løse det givne integral svarer til at løse:

Dette giver os som følge heraf:

Eksempel 3

Løs integralet:

Vi har q (x) = 9x⁴ + x² , at vi kan faktor i q (x) = x²(9x² + 1).

Ved denne lejlighed har vi en gentagen lineær faktor og en kvadratisk faktor; det vil sige, vi er i sag 3.

Vi skal:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + Dx²

Gruppering og brug af ligeværdige polynomier har vi:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Fra dette ligningssystem skal vi:

D = - 9 og C = 0

På denne måde har vi:

Ved at løse ovenstående har vi:

Massespørgsloven

En interessant anvendelse af de partielle fraktioner, der påføres den integrerede beregning, findes i kemi, mere præcist i loven om masshandling.

Antag at vi har to stoffer A og B, som er sammenføjet og danner et stof C, således at den afledte af mængden af ​​C som funktion af tiden er proportional med produktet af de mængder A og B på et givet tidspunkt.

Vi kan udtrykke massehandlingens lov som følger:

I dette udtryk er α den indledende mængde gram svarende til A og β den indledende mængde gram svarende til B.

Desuden repræsenterer r og s antallet af gram henholdsvis A og B, der kombinerer for at danne r + s gram C. For sin del repræsenterer x antallet af stof C ved tidspunktet t, og K er den konstant af proportionalitet. Ovennævnte ligning kan omskrives som:

Gør følgende ændring:

Vi har, at ligningen bliver:

Fra dette udtryk kan vi få:

Hvor ja en ≠ b, kan partielle fraktioner bruges til integration.

eksempel

Tag for eksempel et stof C, der opstår ved at kombinere et stof A med et B, på en sådan måde, at masseloven er opfyldt, hvor værdierne a og b er henholdsvis 8 og 6. Giv en ligning, der giver os værdien af ​​gram C som en funktion af tiden.

Ved at erstatte værdierne i den givne masselov har vi:

Ved adskillelse af variabler har vi:

Her kan 1 / (8 - x) (6 - x) skrives som sum af delfraktioner som følger:

Således er 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Hvis vi erstatter x til 6, har vi det B = 1/2; og erstatter x for 8, har vi A = - 1/2.

Integrering med partielle fraktioner har vi:

Dette giver os som følge heraf:

Differentialekvationer: logistisk ligning

En anden applikation, der kan gives til partielle fraktioner, er i den logistiske differentialekvation. I enkle modeller har vi, at væksten i en befolkning er proportional med dens størrelse; det er:

Denne sag er en ideel og anses for realistisk, indtil det sker, at ressourcerne i et system ikke er tilstrækkelige til at bevare befolkningen.

I disse situationer er det mere rimeligt at tro, at der er en maksimal kapacitet, som vi kalder L, at systemet kan opretholde, og at væksten er proportional med befolkningens størrelse multipliceret med den tilgængelige størrelse. Dette argument fører til følgende differentialekvation:

Dette udtryk kaldes den logistiske differentialekvation. Det er en separerbar differentialligning, som kan løses med integrationsmetoden med partielle fraktioner.

eksempel

Et eksempel ville være at overveje en befolkning, der vokser ifølge den følgende logistiske differentialligning y '= 0.0004y (1000 - y), hvis oprindelige data er 400. Vi vil gerne vide befolkningens størrelse på tidspunktet t = 2, hvor t måles i år.

Hvis vi skriver en og 'med Leibniz-notationen som en funktion, der afhænger af t, skal vi:

Integralet af venstre side kan løses ved hjælp af integrationsmetoden med partielle fraktioner:

Denne sidste ligestilling kan omskrives som følger:

- Ved at erstatte y = 0 har vi A lig med 1/1000.

- Ved at erstatte y = 1000 har vi, at B er lig med 1/1000.

Med disse værdier er integreret som følger:

Løsningen er:

Brug af de oprindelige data:

Når clearing og vi har forladt:

Så har vi det ved t = 2:

Som konklusion er efter 2 år befolkningsstørrelsen ca. 597,37.

referencer

1. A, R. A. (2012). Matematik 1. Andes Universitet. Publikationer Rådet.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 løst integraler. National Experimental University of Tachira.
3. Leithold, L. (1992). BEREGNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beregning. Mexico: Pearson Education.
5. Saenz, J. (s.f.). Omfattende beregning. hypotenusen.