Euklidisk geometrihistorie, grundlæggende begreber og eksempler

den Euklidisk geometri svarer til undersøgelsen af ​​egenskaberne af geometriske rum, hvor euklidets aksiomer er opfyldt. Mens dette udtryk undertiden bruges til at omfatte geometrier, der har overlegne dimensioner med lignende egenskaber, er det normalt synonymt med klassisk geometri eller flad geometri..

I det tredje århundrede a. C. Euclid og hans disciple skrev elementer, et arbejde, der omfattede den matematiske viden om tiden med en logisk deduktiv struktur. Siden da er geometri blevet en videnskab, i første omgang at løse klassiske problemer og er udviklet til en formativ videnskab, der hjælper med at begrunde.

indeks

• 1 historie
• 2 Grundlæggende begreber
  • 2.1 Fælles begreb
  • 2.2 Postulater eller aksiomer
• 3 eksempler
  • 3.1 Første eksempel
  • 3.2 Andet eksempel
  • 3.3 Tredje eksempel
• 4 referencer

historie

At tale om historien om euklidisk geometri, er det vigtigt at starte med Euclid of Alexandria og the elementer.

Da Egypten var i hænderne på Ptolemæus, begyndte jeg efter Alexander The Greats død at starte sit projekt på en skole i Alexandria.

Blandt de vismænd, der lærte i skolen var Euclid. Det spekuleres, at hans fødsel daterer ca. 325 a. C. og hans død på 265 a. C. Vi kan med sikkerhed vide, at han gik til Platons skole.

I mere end tredive år lærte Euclid i Alexandria at bygge sine berømte elementer: han begyndte at skrive en udtømmende beskrivelse af sin tids matematik. Euclid's lære skabte fremragende disciple, såsom Archimedes og Apollonius fra Perga.

Euclid var ansvarlig for at strukturere de klassiske grækers forskellige opdagelser i elementer, men i modsætning til sine forgængere begrænser den sig ikke til at bekræfte, at en sætning er sand; Euclides tilbyder en demonstration.

den elementer De er et kompendium af tretten bøger. Efter Bibelen er det den mest udgivne bog med mere end tusind udgaver.

den elementer er mesterværket af Euclid inden for geometriområdet og tilbyder en endelig behandling af geometri af to dimensioner (flyet) og tre dimensioner (rum), hvilket er oprindelsen af ​​det, vi nu ved som euklidisk geometri.

Grundlæggende begreber

Elementerne består af definitioner, fælles forestillinger og postulater (eller aksiomer) efterfulgt af sætninger, konstruktioner og demonstrationer.

- Et punkt er det, der ikke har nogen dele.

- En linje er en længde, der ikke har bredde.

- En lige linje er den, der ligger lige i forhold til de punkter, der er heri.

- Hvis to linjer skæres, så de tilstødende vinkler er ens, kaldes vinklerne lige og linjerne kaldes perpendicularer..

- Parallelle linjer er dem, der i samme plan aldrig skæres.

Efter disse og andre definitioner præsenterer Euclid en liste over fem postulater og fem forestillinger.

Fælles begreb

- To ting, der er lig med en tredjedel, er lig med hinanden.

- Hvis lige ting tilføjes til de samme ting, er resultaterne de samme.

- Hvis lige ting trækkes fra de samme ting, er resultaterne de samme.

- De ting, der matcher hinanden, er ens i forhold til hinanden.

- Summen er større end en del.

Postulater eller aksiomer

- For to forskellige punkter passerer en og kun en linje.

- Rette linjer kan strække sig på ubestemt tid.

- Du kan tegne en cirkel med ethvert center og en hvilken som helst radius.

- Alle lige vinkler er de samme.

- Hvis en lige linje krydser to lige linjer, så de indre vinkler på den samme side tilføjer op til mindre end to rette vinkler, skærer de to linjer på den side.

Dette sidste postulat er kendt som parallellenes postulat og blev omformuleret som følger: "For et punkt uden for en linje kan du tegne en enkelt parallel til den givne linje".

eksempler

Dernæst nogle sætninger af elementer de vil tjene til at vise egenskaber af geometriske rum, hvor de fem postulater af euclid er opfyldt; Derudover vil de illustrere den logisk-deduktive begrundelse, som denne matematiker bruger.

Første eksempel

Forslag 1.4. (LAL)

Hvis to trekanter har to sider, og vinklen mellem dem er lig, er de andre sider og de andre vinkler ens.

show

Lad ABC og A'B'C være to trekanter med AB = A'B ', AC = A'C' og vinklerne BAC og B'A'C 'lige. Flyt til trekant A'B'C ', så A'B' falder sammen med AB, og den vinkel B'A'C 'falder sammen med vinkel BAC.

Derefter falder linie A'C sammen med linie AC, således at C 'falder sammen med C. Derefter ved postulat 1 skal linie BC falde sammen med linje B'C'. Derfor falder de to trekanter sammen, og derfor er deres vinkler og sider ens.

Andet eksempel

Forslag 1.5. (Pons Asinorum)

Hvis en trekant har to lige sider, er vinklerne modsat disse sider ens.

show

Antag at trekant ABC har lige sider AB og AC.

Derefter har trekanter ABD og ACD to lige sider og vinklerne mellem dem er ens. Ved proposition 1.4 er vinklerne ABD og ACD således ens.

Tredje eksempel

Forslag 1.31

Du kan bygge en linje parallelt med en linje givet af et givet punkt.

konstruktion

Med en linje L og et punkt P tegnes en lige linje M, der passerer gennem P og skærer ind i L. Derefter tegnes en ret linje N ved P, der skærer til L. Nu sporer vi af P et lige N, der skærer til M, danner en vinkel svarende til den, som L danner med M.

bekræftelse

N er parallel med L.

show

Antag at L og N ikke er parallelle og skærer ved et punkt A. Lad B være et punkt ved L ud over A. Overvej linjen O, der passerer gennem B og P. Derefter skæres O til M-formningsvinkler, der tilføjer mindre end to lige.

Derefter med 1,5 skal linien O skære til linjen L på den anden side af M, så L og O skærer ved to punkter, hvilket modsiger postulatet 1. Derfor skal L og N være parallelle.

referencer

1. Euclid. Elementer af geometri. National Autonomous University of Mexico
2. Euclides. De første seks bøger og ellevte og tolvte elementer af Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktik og historie om euklidisk geometri. Iberoamerican Editorial Group
4. K.Ribnikov. Matematikhistorie Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Venezuelansk C.A redaktionelt.