Mindste kvadratmetode, opløst øvelser og hvad det tjener



Metoden for mindste kvadrater er en af ​​de vigtigste applikationer i tilnærmelsen af ​​funktioner. Idéen er at finde en kurve sådan, at denne funktion bedre set tilnærmelsen til dataene i betragtning af et sæt bestilte par. Funktionen kan være en linje, en kvadratisk kurve, en kubisk kurve osv..

Ideen med metoden er at minimere summen af ​​kvadrater af forskellene i ordinaterne (komponent Y) mellem de punkter, der genereres af den valgte funktion og de punkter, der tilhører datasættet.

indeks

  • 1 mindst kvadrater metode
  • 2 øvelser løst
    • 2.1 Øvelse 1
    • 2.2 Øvelse 2
  • 3 Hvad er det for??
  • 4 referencer

Mindste kvadrater metode

Før vi giver metoden, må vi først være klare over, hvad "bedre tilgang" betyder. Antag en linje y = mx + b til at være den bedst repræsenterer et sæt af n punkter, nemlig (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn) søges.

Som vist i den foregående figur, hvis variablerne x og y var relateret af linjen y = b + mx, ville for x = x1 den tilsvarende værdi af y være b + mx1. Denne værdi er dog forskellig fra den sande værdi af y, som er y = y1.

Husk at i flyet er afstanden mellem to punkter givet ved hjælp af følgende formel:

Med dette i tankerne, at afgøre, hvordan man vælger den linje y = b + mx, der bedst tilnærmer dataene givet, det lyder logisk at bruge som et kriterium for udvælgelsen af ​​den linje, der minimerer summen af ​​kvadraterne af afstandene mellem punkterne og lige.

Som afstanden mellem punkterne (x1, y1) og (x1, b + MX1) er Y1 (b + MX1), er vores problem reduceret til at finde tallene m og b, således at den følgende sum minimeres:

Linjen, der opfylder denne betingelse, kaldes "tilnærmelsen af ​​den mindste kvadrater linje til punkterne (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Når problemet er løst, skal vi bare vælge en metode for at finde de mindste kvadrater tilnærmelse. Hvis punkterne (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) er alle på linjen y = mx + b, skulle vi være collinære og:

I dette udtryk:

Endelig, hvis punkterne ikke er collinære, så kan y-Au = 0 og problemet oversættes til at finde en vektor eller sådan, at den euklidiske norm er minimal.

At finde den minimerende vektor er ikke så vanskelig som du måske tror. Da A er en matrix nx2 og du er en 2 × 1 matrix, har vi, at vektoren Au er en vektor i Rn og det tilhører billedet af A, som er et underrum af Rn med en dimension, der ikke er større end to.

Vi antager, at n = 3 for at vise, hvilken procedure der skal følges. Hvis n = 3, vil billedet af A være et plan eller en linje, der passerer gennem oprindelsen.

Lad v være minimeringsvektoren. I figuren bemærker vi, at y-Au minimeres, når det er ortogonalt for billedet af A. Det vil sige, at hvis v er minimeringsvektoren, sker det således:

Så kan vi udtrykke ovenstående på denne måde:

Dette kan kun ske, hvis:

Endelig skal vi rydde v, vi skal:

Det er muligt at gøre dette siden AtA er inverterbar, så længe de n point, der er angivet som data, ikke er kollinære.

Nu, hvis vi i stedet for at lede efter en linje ønsker at finde en parabola (hvis udtryk ville være af formen y = a + bx + cx2) der var en bedre tilnærmelse til n-datapunkterne, ville proceduren være som beskrevet nedenfor.

Hvis de n datapunkter var i parabolen, skulle det være nødvendigt at:

derefter:

På samme måde kan vi skrive y = Au. Hvis alle punkter ikke er i lignelsen, må vi og-Au er forskellig fra nul for enhver vektor u og vores problem er igen: finde en vektor ui R3 således, at dens norm || || y-Au være så lille som muligt.

Ved at gentage den foregående procedure kan vi komme til den vektor, der søges efter:

Løste øvelser

Øvelse 1

Find den linje, der bedst passer til punkterne (1,4), (-2,5), (3, -1) og (4,1).

opløsning

Vi skal:

derefter:

Derfor konkluderer vi, at den linje, der bedst passer til punkterne, er givet af:

Øvelse 2

Antag at en genstand er faldet fra en højde på 200 m. Mens der falder, tages følgende foranstaltninger:

Vi ved, at højden af ​​objektet, efter at have passeret en tid t, er givet af:

Hvis vi ønsker at opnå værdien af ​​g, kan vi finde en parabola, der er en bedre tilnærmelse til de fem punkter, der er angivet i tabellen, og derfor ville vi have den koefficient, der følger med t2 det vil være en rimelig tilnærmelse til (-1/2) g, hvis målingerne er korrekte.

Vi skal:

Og så:

Så ændres datapunkterne ved følgende kvadratiske udtryk:

Derefter skal du:

Dette er en værdi, der er rimeligt tæt på den korrekte, hvilket er g = 9,81 m / s2. For at opnå en mere præcis tilnærmelse af g ville det være nødvendigt at starte fra mere præcise observationer.

Hvad er det for??

I de problemer, der opstår i natur- eller samfundsvidenskaben, er det praktisk at skrive de forhold, der opstår mellem forskellige variabler ved hjælp af nogle matematiske udtryk.

For eksempel kan vi relatere omkostninger (C), indkomst (I) og overskud (U) i økonomi ved hjælp af en simpel formel:

I fysik kan vi forholde os accelerationen forårsaget af tyngdekraften, den tid, et objekt har været faldende og objektets højde ved lov:

I det foregående udtryk seller er den oprindelige højde af objektet og veller er din indledende hastighed.

Men at finde formler som disse er ikke en simpel opgave; normalt er det op til den professionelle på plet at arbejde med mange data og gentagne gange udføre flere forsøg (for at kontrollere, at de opnåede resultater er konstante) for at finde forhold mellem de forskellige data.

En fælles måde at opnå dette på er at repræsentere dataene opnået i et plan som punkter og se efter en kontinuerlig funktion, der optimerer disse punkter optimalt.

En af måderne at finde den funktion, der "bedst tilnærmes" til de givne data, er den mindst kvadratiske metode.

Derudover, som vi så også i øvelsen, takket være denne metode kan vi få tilnærmelser ret tæt på fysiske konstanter.

referencer

  1. Charles W Curtis Lineær Algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementær Problemer Theory med Stokastiske Processer. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Numerisk analyse (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Anvendelser af lineær algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Lineær algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO