Parallelepipede egenskaber, typer, areal, volumen

en parallelepipedum er en geometrisk krop dannet af seks ansigter, hvis hovedkarakteristika er, at alle deres ansigter er parallelogrammer, og også deres modsatte ansigter er parallelle med hinanden. Det er en fælles polyhedron i vores daglige liv, da vi kan finde den i skokasser, formen af ​​en mursten, formen af ​​en mikrobølgeovn mv..

Som en polyhedron omslutter parallelepipediet et begrænset volumen, og alle dets ansigter er flade. Det er en del af gruppen af ​​prisme, som er de polyeder, hvor alle deres hjørner er indeholdt i to parallelle fly.

indeks

• 1 Elever af Parallelepiped
  • 1.1 Ansigter
  • 1,2 kanter
  • 1.3 Vertex
  • 1,4 Diagonal
  • 1.5 Center
• 2 Karakteristika for Parallelepiped
• 3 typer
  • 3.1 Beregning af diagonaler
• 4 område
  • 4.1 Område af en orthohedron
  • 4.2 Terning af en terning
  • 4.3 Område af en rhombohedron
  • 4.4 Område af en rhombisk
• 5 Volumen af ​​en parallelepiped
  • 5.1 Perfekt parallelepiped
• 6 Bibliografi

Elements of the parallelepiped

Caras

De er hver af de regioner, der er dannet af parallelogrammer, der begrænser parallelepiped. En parallelepiped har seks ansigter, hvor hvert ansigt har fire tilstødende ansigter og et modsat. Derudover er hver side parallelt med dens modsatte.

Aristas

De er den fælles side af to ansigter. I alt har en parallelepiped tolv kanter.

vertex

Det er fælles for tre ansigter, der støder op til hinanden to til to. En parallelepiped har otte hjørner.

diagonal

I betragtning af to modsatte sider af en parallelepiped kan vi tegne et linjesegment, der går fra toppunktet fra det ene ansigt til det modsatte hjørne af den anden.

Dette segment er kendt som parallelepipedens diagonale. Hver parallelepiped har fire diagonaler.

center

Det er det punkt, hvor alle diagonaler skærer.

Karakteristik af parallelepiped

Som vi nævnte, har denne geometriske krop tolv kanter, seks ansigter og otte hjørner.

I en parallelepiped kan du identificere tre sæt dannet af fire kanter, som er parallelle med hinanden. Desuden opfylder kanterne af disse sæt også ejendommen at have samme længde.

En anden egenskab, som parallelepipeder besidder, er, at de er konvekse, det vil sige, hvis vi tager et par punkter, der hører til det indre af parallelepiped, vil segmentet bestemt ved nævnte par punkter også være inde i parallelepiped..

Desuden er parallelepipederne, der er konvekse polyeder, i overensstemmelse med Eulers sætning for polyeder, hvilket giver os et forhold mellem antallet af ansigter, antal kanter og antallet af hjørner. Dette forhold gives i form af følgende ligning:

C + V = A + 2

Denne funktion er kendt som Eulers karakteristik.

Hvor C er antallet af ansigter, V antallet af hjørner og A antallet af kanter.

typen

Vi kan klassificere parallelepipeder baseret på deres ansigter i følgende typer:

kasseformet

De er parallelepipederne, hvor deres ansigter er dannet af seks rektangler. Hvert rektangel er vinkelret på dem, som det deler kant. De er de mest almindelige i vores daglige liv, da dette er den sædvanlige måde på skokasser og klodser.

Cube eller almindelig hexahedron

Dette er et særligt tilfælde af den forrige, hvor hver af ansigterne er en firkant.

Kuben er også en del af de geometriske kroppe kaldet platoniske faste stoffer. Et platonisk faststof er en konveks polyhedron, således at både dets ansigter og dets indvendige vinkler er ens.

romboedro

Det er en parallelepiped med diamanter på ansigtet. Disse diamanter er alle ens, da de deler kanter.

Romboiedro

Dens seks ansigter er rhomboider. Husk at en rhomboid er en polygon med fire sider og fire vinkler, der er lig med to til to. Rhomboiderne er parallelogrammerne, der hverken er firkantede eller rektangler eller rhombusser.

På den anden side er de skrå parallelle pipetter de, hvor mindst en højde ikke er i overensstemmelse med sin kant. I denne klassifikation kan vi inkludere rhombohedrons og rhombichedrons.

Diagonal beregning

For at beregne diagonal af en orthohedron kan vi bruge Pythagoras sætning for R³.

Husk at en orthohedron har den egenskab, at hver side er vinkelret med siderne, der deler kanten. Fra denne kendsgerning kan vi udlede, at hver kant er vinkelret på dem, der deler vertex.

For at beregne længden af ​​en diagonal af en orthohedron fortsætter vi som følger:

1. Vi beregner diagonalen af ​​et af ansigterne, som vi vil lægge som en base. Til dette bruger vi Pythagoras sætning. Navngiv denne diagonal d_b.

2. Så med d_b vi kan danne en ny højre trekant, sådan at hypotenussen af ​​trekanten er den diagonale D, der søges.

3. Vi bruger igen Pythagoras sætning, og vi har, at længden af ​​diagonalen er:

En anden måde at beregne diagonaler på en mere grafisk måde er med summen af ​​frie vektorer.

Husk at to frie vektorer A og B tilsættes ved at placere halen af ​​vektor B med spidsen af ​​vektor A.

Vektoren (A + B) er den der starter ved halen af ​​A og slutter ved spidsen af ​​B.

Overvej en parallelepiped, som vi vil beregne en diagonal på.

Vi identificerer kanter med bekvemt orienterede vektorer.

Så tilføjer vi disse vektorer, og den resulterende vektor vil være diagonal af parallelepiped.

område

Området af en parallelepiped er givet ved summen af ​​hvert af de områder af deres ansigter.

Hvis vi bestemmer en af ​​siderne som basen,

En_L + 2A_B = Samlet område

Hvor A_L er lig med summen af ​​arealerne på alle sider ved siden af ​​basen, kaldet lateralområdet og A_B er baseområdet.

Afhængigt af den type parallelepiped, som vi arbejder med, kan vi omskrive formlen.

Område af en orthohedron

Det er givet ved formlen

A = 2 (ab + bc + ca).

Eksempel 1

I betragtning af følgende orthohedron, med sider a = 6 cm, b = 8 cm og c = 10 cm, beregnes området af parallelepipedet og længden af ​​dets diagonale.

Ved hjælp af formlen for området af en orthohedron skal vi

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Bemærk, at da det er en ortoeder, er længden af ​​en af ​​sine fire diagonaler den samme.

Ved hjælp af Pythagoras sætning for plads skal vi

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Område af en terning

Da hver kant har samme længde, har vi a = b og a = c. Ved at erstatte i den tidligere formel har vi

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Eksempel 2

Kassen i en spillekonsol har form af en terning. Hvis vi ønsker at pakke denne boks med gavepapir, hvor meget papir vil vi bruge ved at vide, at længden af ​​kanten af ​​kanten er 45 cm?

Ved hjælp af formlen for kubområdet får vi det

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Område af en rhombohedron

Da alle deres ansigter er ens, er det nok at beregne arealet af en af ​​dem og formere det med seks.

Vi kan beregne området af en diamant ved hjælp af dens diagonaler med følgende formel

En_R = (Dd) / 2

Ved hjælp af denne formel følger det, at rhombohedronets samlede areal er

En_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Eksempel 3

Ansigterne af den følgende rhombohedron er dannet af en rhombus, hvis diagonaler er D = 7 cm og d = 4 cm. Dit område bliver

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Område af en rhombic

For at beregne området af en rhombic skal vi beregne området af rhomboiderne, der komponerer det. Da parallelepipeder overholder ejendommen, at de modsatte sider har samme område, kan vi forbinde sidene i tre par.

På den måde har vi, at dit område bliver

En_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Hvor b_jeg er baserne forbundet med siderne og_jeg dens relative højde svarende til de nævnte baser.

Eksempel 4

Overvej følgende parallelepiped,

hvor siden A og siden A '(den modsatte side) har som base b = 10 og for højden h = 6. Det markerede område vil have en værdi af

En₁ = 2 (10) (6) = 120

B og B 'har b = 4 og h = 6, derefter

En₂ = 2 (4) (6) = 48

Og C og C 'har b = 10 og h = 5, så

En₃ = 2 (10) (5) = 100

Endelig er området af rhombohedronen

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumen af ​​en parallelepiped

Formlen, der giver os volumenet af en parallelepiped, er produktet af området af et af dets ansigter ved den højde, der svarer til nævnte ansigt.

V = A_Ch_C

Afhængig af typen af ​​parallelepiped kan formlen forenkles.

Så vi har for eksempel at mængden af ​​en orthohedron ville blive givet af

V = abc.

Hvor a, b og c repræsenterer længden af ​​orthohedronkanterne.

Og i det særlige tilfælde af terningen er

V = a³

Eksempel 1

Der er tre forskellige modeller til kasser med cookies, og du vil gerne vide, hvilken af ​​disse modeller du kan gemme flere cookies, det vil sige, hvilken af ​​kasserne har den højeste lydstyrke.

Den første er en terning, hvis kant har en længde på a = 10 cm

Dens lydstyrke vil være V = 1000 cm³

Den anden har kanter b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Og derfor er dens volumen V = 765 cm³

Og den tredje har e = 9 cm, f = 9 cm og g = 13 cm

Og dens volumen er V = 1053 cm³

Derfor er boksen med det største volumen den tredje.

En anden metode til at opnå volumenet af en parallelepiped er at ty til vektoralgebra. Især det tredobbelte skalære produkt.

Et af de geometriske fortolkninger, der har det tredobbelte skalære produkt, er volumenet af parallelepipedet, hvis kanter er tre vektorer, der deler samme vertex som udgangspunkt.

På denne måde, hvis vi har en parallelepiped og vi vil vide, hvad dens volumen er, er det nok at repræsentere det i et koordinatsystem i R³ der matcher en af ​​dens hjørner med oprindelsen.

Derefter repræsenterer vi de kanter, der svarer til oprindelsen med vektorer som vist i figuren.

Og på denne måde har vi, at volumenet af den nævnte parallelepiped er givet af

V = | AxB ∙ C |

Eller tilsvarende er volumendeterminanten af ​​3 x 3 matrixen, der dannes af komponenterne i kantvektorerne.

Eksempel 2

Ved at repræsentere den næste parallelepiped i R³ vi kan se, at de vektorer, der bestemmer det, er følgende

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) og w = (-0,25, -4, 4)

Brug af det tredobbelte skalære produkt, vi har

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Heraf konkluderes det, at V = 60

Overvej nu følgende parallelepiped i R3, hvis kanter bestemmes af vektorerne

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) og C = (3,4,4)

Brug af determinanter giver os det

Så vi har, at volumenet af nævnte parallelepiped er 112.

Begge er tilsvarende måder at beregne volumen på.

Perfekt parallelepiped

Det er kendt som Eulers mursten (eller Eulers blok) til en orthohedron, der opfylder ejendommen, at både længden af ​​dets kanter og længden af ​​diagonalerne på hver af dets ansigter er heltal.

Mens Euler ikke var den første videnskabsmand, der studerede orthoederronsne, der mødte den egenskab, fandt han interessante resultater om dem.

Den mindre Euler mursten blev opdaget af Paul Halcke og længderne af sine kanter er a = 44, b = 117 og c = 240.

Et åbent problem i talteori er som følger

Er der perfekte orthoederrons?

På nuværende tidspunkt kan dette spørgsmål ikke besvares, da det ikke har været muligt at bevise, at disse organer ikke eksisterer, men der er ikke fundet nogen.

Hvad der indtil videre har vist sig, er, at der findes perfekte parallelle piper. Den første, der opdages, har længden af ​​sine kanter værdierne 103, 106 og 271.

bibliografi

1. Guy, R. (1981). Uopløste problemer i talteori. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. fremskridt.
3. Leithold, L. (1992). BEREGNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Teknisk tegning: Arbejdsbog 3 2. Baccalaureat . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysik Vol. 1. Mexico: Continental.