Egenskaber for produktkors, applikationer og løste øvelser



den Krydsprodukt eller produktvektor Det er en måde at formere to eller flere vektorer. Der er tre måder at multiplicere vektorer, men ingen af ​​disse er en multiplikation i ordets sædvanlige betydning. En af disse former er kendt som et vektorprodukt, hvilket resulterer i en tredje vektor.

Vektorproduktet, som også kaldes tværprodukt eller eksternt produkt, har forskellige algebraiske og geometriske egenskaber. Disse egenskaber er meget nyttige, især i studiet af fysik.

indeks

  • 1 Definition
  • 2 Egenskaber
    • 2.1 Bolig 1
    • 2.2 Ejendom 2
    • 2.3 Ejendom 3
    • 2.4 Ejendom 4 (triple scalar produkt)
    • 2.5 Ejendom 5 (tredobbelt vektorprodukt)
    • 2.6 Ejendom 6
    • 2.7 Ejendom 7
    • 2.8 Ejendom 8
  • 3 applikationer
    • 3.1 Volumenberegning af en parallelepiped
  • 4 øvelser løst
    • 4.1 Øvelse 1
    • 4.2 Øvelse 2
  • 5 referencer

definition

En formel definition af vektoren produkt er som følger: hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3) vektorer, så vektoren produkt af A og B, som angiver som AxB, er:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

På grund af notationen AxB står det som "A cross B".

Et eksempel på hvordan man bruger det udvendige produkt er, at hvis A = (1, 2, 3) og B = (3, -2, 4) er vektorer, så har vi ved anvendelse af definitionen af ​​vektorprodukt:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4-3 * (-2) 3 * 3-1 * 4,1 * (-2) -2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9-4, -2-6) = (14, 5, 8).

En anden måde til at udtrykke vektorproduktet er givet af determinanterne notation.

Beregningen af ​​en anden rækkefølge determinant er givet ved:

Derfor kan formlen af ​​vektorproduktet givet i definitionen omskrives som følger:

Dette forenkles normalt i en tredje ordens determinant som følger:

Hvor jeg, j, k repræsenterer vektorerne, der danner grundlaget for R3.

Ved hjælp af denne måde at udtrykke tværproduktet på, har vi, at det foregående eksempel kan omskrives som:

egenskaber

Nogle egenskaber, som vektorproduktet besidder, er følgende:

Ejendom 1

Hvis A er en vektor i R3, Vi skal:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Disse egenskaber er nemme at kontrollere med kun definitionen. Hvis A = (a1, a2, a3) skal vi:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Hvis jeg, j, k repræsenterer enhedens basis for R3, Vi kan skrive dem som følger:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Derefter skal vi opfylde følgende egenskaber:

Som en mnemonisk regel, for at huske disse egenskaber, anvendes den følgende cirkel som regel:

Der skal vi bemærke, at enhver vektor med sig selv resulterer i vektor 0, og resten af ​​produkterne kan opnås med følgende regel:

Korsproduktet af to på hinanden følgende vektorer i urets retning giver følgende vektor; og når man overvejer retningen mod uret, er resultatet den følgende vektor med et negativt tegn.

Takket være disse egenskaber kan vi se, at vektorproduktet ikke er kommutativt; for eksempel er det nok at bemærke, at jeg x j ≠ j x i. Følgende egenskab fortæller os, hvordan AxB og BxA generelt vedrører.

Ejendom 2

Hvis A og B er R-vektorer3, Vi skal:

AxB = - (BxA).

show

Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3) efter definition af eksternt produkt har vi:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Vi kan også observere, at dette produkt ikke er associativt med følgende eksempel:

ix (ixj) = ixk = - j men (ixi) xj = 0xj = 0

Herfra kan vi observere det:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Ejendom 3

Hvis A, B, C er R-vektorer3 og r er et reelt tal, er følgende sandt:

- Akse (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = akse (rB)

Takket være disse egenskaber kan vi beregne vektorproduktet ved hjælp af algebraloven, forudsat at ordren overholdes. For eksempel:

Hvis A = (1, 2, 3) og B = (3, -2, 4), kan vi omskrive dem baseret på det kanoniske grundlag for R3.

Således er A = i + 2j + 3k og B = 3i - 2j + 4k. Derefter anvender du de tidligere egenskaber:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (IXJ) +4 (IXK) + 6 (JXI) - 4 (jxj) + 8 (JXK) + 9 (kxi) - 6 (kxj) 12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, 8).

Ejendom 4 (triple scalar produkt)

Som vi nævnte i starten, er der andre måder at multiplicere vektorer udover vektorproduktet. En af disse måder er det skalære produkt eller det indre produkt, der betegnes som A ∙ B, og hvis definition er:

Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3), så A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Ejendommen, der vedrører begge produkter, kaldes det tredobbelte skalære produkt.

Hvis A, B og C er R-vektorer3, så A ∙ BxC = AxB ∙ C

Lad os se, at A = (1, 1, 2), B = (- 3, 4, 2) og C = (- 5, 1, 4), er denne ejendom opfyldt.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

På den anden side:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Et andet tredobbelt produkt er Axe (BxC), der er kendt som tredobbelt vektorprodukt.

Ejendom 5 (tredobbelt vektorprodukt)

Hvis A, B og C er R-vektorer3,  derefter:

Akse (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Lad os se, at A = (1, 1, 2), B = (- 3, 4, 2) og C = (- 5, 1, 4), er denne ejendom opfyldt.

Fra det foregående eksempel ved vi, at BxC = (- 18, - 22, 17). Lad os beregne Axe (BxC):

Akse (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

På den anden side skal vi:

En ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1 - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Så skal vi:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1 - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Ejendom 6

Det er en af ​​geometriske egenskaber af vektorer. Hvis A og B er to vektorer i R3 og Θ er den vinkel der dannes mellem disse, så:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), hvor || ∙ || angiver modulet eller størrelsen af ​​en vektor.

Den geometriske fortolkning af denne ejendom er som følger:

Lad A = PR og B = PQ. Derefter er vinklen dannet af vektorerne A og B vinklen P af trekanten RQP som vist i den følgende figur.

Derfor er området af parallelogrammet med tilstødende sider PR og PQ | | A |||| B || sin (Θ), da vi kan tage udgangspunkt i || A || og dens højde er givet ved || B || sin (Θ).

På grund af dette kan vi konkludere, at || AxB || er området for parallelogrammet.

eksempel

I betragtning af de følgende hjørner af en firsidet P (1, -2,3) viser Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) og S (5,7, -3), at den firedobbelt er et parallelogram og finder sit område.

Til dette bestemmer vi først de vektorer, der bestemmer retningen for siderne af firkanten. Dette er:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, -1 - 3) = (3, 5, 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, 2)

C = RS = (5-2, 7-2, -3-1) = (3, 5, 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, 2)

Som vi kan observere A og C har den samme vektor instruktør, som vi har, at begge er parallelle; på samme måde sker det med B og D. Derfor konkluderer vi, at PQRS er et parallelogram.

For at have området for parallelogrammet beregner vi BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Derfor vil det kvadratiske område være:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Det kan konkluderes, at parallelogramområdet vil være kvadratroten på 89.

Ejendom 7

To vektorer A og B er parallelle i R3 ja og kun hvis AxB = 0

show

Det er klart, at hvis A eller B er null-vektoren, følger det med, at AxB = 0. Da nulvektoren er parallel med en hvilken som helst anden vektor, er ejendommen gyldig.

Hvis ingen af ​​de to vektorer er nulvektoren, har vi, at deres størrelser er forskellige fra nul; det vil sige, begge || A || ≠ 0 som || B || ≠ 0, så vi bliver nødt til at || AxB || = 0 hvis og kun hvis synd (Θ) = 0, og dette sker hvis og kun hvis Θ = π eller Θ = 0.

Derfor kan vi konkludere AxB = 0 hvis og kun hvis Θ = π eller Θ = 0, som kun sker, når begge vektorer er parallelle med hinanden.

Ejendom 8

Hvis A og B er to vektorer i R3, så er AxB vinkelret på både A og B.

show

Til denne demonstration skal du huske at to vektorer er vinkelret, hvis A ∙ B er lig med nul. Derudover ved vi, at:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, men AxA er lig med 0. Derfor skal vi:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Hermed kan vi konkludere, at A og AxB er vinkelret på hinanden. På en analog måde skal vi:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Som BxB = 0 skal vi:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Derfor er AxB og B vinkelret på hinanden, og med denne er ejendommen demonstreret. Dette er meget nyttigt, da de giver os mulighed for at bestemme ligningen for et fly.

Eksempel 1

Hent en ligning af planet, der passerer gennem punkterne P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) og R (2, 1, 3).

Lad A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3-2) og B = PR = (2-1,1-3,3-2). Så A = - i + 3j + k og B = i - 2j + k. For at finde flyet dannet af disse tre punkter er det nok at finde en vektor, der er normal for planet, som er AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Med denne vektor og ved at tage punktet P (1, 3, 2) kan vi bestemme ligningen for flyet som følger:

(5, 2, -1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Så vi har, at ligningen af ​​flyet er 5x + 2y - z - 9 = 0.

Eksempel 2

Find ligningen for planet, der indeholder punktet P (4, 0, - 2), og det er vinkelret på hver af planerne x - y + z = 0 og 2x + y - 4z - 5 = 0 .

At vide, at en normal vektor til et plan ax + ved + cz + d = 0 er (a, b, c), vi har det (1, -1,1) er en normal vektor x - y + z = 0 y 2.1, - 4) er en normal vektor af 2x + y - 4z - 5 = 0.

Derfor skal en normal vektor til det ønskede plan være vinkelret på (1, -1,1) og a (2, 1, 4). Den nævnte vektor er:

(1, -1,1) x (2,1, -4) = 3i + 6j + 3k.

Så har vi, at det søgte fly er det, der indeholder punktet P (4,0, -2) og har vektoren (3,6,3) som en normal vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

applikationer

Beregning af volumen af ​​en parallelepiped

En applikation, der har det tredobbelte skalære produkt, er at kunne beregne volumenet af en parallelepiped, hvis kanter er givet af vektorer A, B og C, som vist i figuren:

Vi kan udlede denne ansøgning på følgende måde: Som vi tidligere har sagt, er vektoren AxB en vektor, som er normal for A og B. Akkurat har vi også, at vektoren - (AxB) er en anden vektor, der er normal til planet.

Vi vælger den normale vektor, der danner den mindste vinkel med vektoren C; uden tab af generelitet, lad AxB være vektoren, hvis vinkel med C er den mindste.

Vi har, at både AxB og C har samme startpunkt. Derudover ved vi, at området for parallelogrammet, der danner basis for parallelepiped, er || AxB ||. Derfor, hvis højden af ​​parallelepiped er givet af h, har vi, at dens volumen vil være:

V = || AxB || h.

På den anden side overveje det skalære produkt mellem AxB og C, som kan beskrives som følger:

Men ved trigonometriske egenskaber har vi det h = || C || cos (Θ), så vi skal:

På denne måde skal vi:

Generelt har vi, at volumenet af en parallelepiped er givet ved den absolutte værdi af det tredobbelte skalære produkt AxB ∙ C.

Løste øvelser

Øvelse 1

I betragtning af punkterne P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) og S = (2, 6, 9) danner disse punkter en parallelepiped, hvis kanter de er PQ, PR og PS. Bestem volumenet af den parallelle pipiped.

opløsning

Hvis vi tager:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3,2,2)

Ved brug af det tredobbelte skalære produkts egenskaber skal vi:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Derfor har vi, at volumenet af den nævnte parallelepiped er 52.

Øvelse 2

Bestem volumenet af en parallelepiped, hvis kanter er givet af A = PQ, B = PR og C = PS, hvor punkterne P, Q, R og S er (1, 3, 4), (3, 5, 3) (2, 1, 6) og (2, 2, 5).

opløsning

Først har vi det A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vi beregner AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Så beregner vi AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Således konkluderer vi, at volumenet af den nævnte parallelepiped er 1 kubik enhed.

referencer

  1. Leithold, L. (1992). BEREGNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysik Vol. 1. Mexico: Continental.
  3. Saenz, J. (s.f.). Vektor Beregning 1ed. hypotenusen.
  4. Spiegel, M.R. (2011). Vektoranalyse 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Beregning af forskellige variabler 4ed. Mc Graw Hill.