Hvad er relative kusiner? Karakteristik og eksempler



Det hedder relative kusiner (coprimos eller fætre i forhold til hinanden) til ethvert par heltal, der ikke har nogen divisor til fælles, undtagen 1.

Med andre ord er to hele tal relative kusiner, hvis de i deres nedbrydning i primære tal har ingen fælles faktor.

For eksempel, hvis 4 og 25 er valgt, er de primære faktor dekomponeringer af hver henholdsvis 2 ² og 5 ². Som det er værdsat, har disse ikke nogen fælles faktor, derfor er 4 og 25 relative kusiner.

På den anden side, hvis de vælges 6 og 24, for at gøre deres dekompositioner i primfaktorer opnås 6 = 2 * 3 24 * 3 = 2³.

Som du kan se, har disse sidste to udtryk mindst én faktor til fælles, derfor er de ikke relative primater.

Relative fætre

En ting at være forsigtig med er at sige, at et par heltal er relative primater er, at dette ikke betyder, at nogen af ​​dem er et primært tal.

Desuden kan den ovenstående definition sammenfattes således: to heltal "a" og "b" er relativt prime hvis, og kun hvis den største fælles divisor af disse er den ene, dvs. gcd ( a, b) = 1.

To umiddelbare konklusioner af denne definition er:

-Hvis "a" (eller "b") er et primært tal, så mcd (a, b) = 1.

-Hvis "a" og "b" er primtal, så mcd (a, b) = 1.

Det vil sige, at hvis mindst et af de valgte tal er et primært tal, så er parret direkte det relative primære.

Andre funktioner

Andre resultater, der bruges til at bestemme, om to tal er relative primater er:

-Hvis to heltal er på hinanden følgende, er disse relative kusiner.

-To naturlige tal "a" og "b" er relativt prime hvis, og kun hvis, tallene "(2 ^ a) -1" og "(2 ^ b) -1" er relativt prime.

-to heltal "a" og "b" er relativt prime hvis, og kun hvis, plotte punktet (a, b) i det kartesiske flyet, og konstruere den linje gennem nulpunktet (0,0) og (en , b), indeholder dette ikke punkter med hele koordinater.

eksempler

1.- Overvej heltalene 5 og 12. De primære faktor dekomponeringer af begge tal er henholdsvis 5 og 2 ² * 3. Som konklusion er gcd (5,12) = 1, derfor 5 og 12 relative primere.

2.- Lad tallene -4 og 6. Så -4 = -22 og 6 = 2 * 3, så LCD'et (-4.6) = 2 ≠ 1. I konklusion -4 og 6 er ikke relative kusiner.

Hvis vi går over til plotte ret linje gennem de ordnede par (4,6) og (0,0), og bestemme ligningen for den linie, kan det verificeres, at dette passerer gennem punktet (-2,3).

Igen konkluderes det, at -4 og 6 ikke er relative kusiner.

3.- Tallene 7 og 44 er relative primater og kan hurtigt afsluttes takket være ovenstående, da 7 er et primtal.

4.- Overvej numrene 345 og 346. Når to på hinanden følgende tal bekræftet, at gcd (345,346) = 1, derfor 345 og 346 er relativt prime.

5.- Hvis tallene 147 og 74 overvejes, er disse relative kusiner, da 147 = 3 * 7² og 74 = 2 * 37, derfor er gcd (147,74) = 1.

6.- Tallene 4 og 9 er relative primere. For at demonstrere dette kan den anden karakterisering nævnt ovenfor anvendes. I virkeligheden er 2 ^ 4-1 = 16-1 = 15 og 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

De opnåede tal er 15 og 511. De primære faktor dekomponeringer af disse tal er henholdsvis 3 * 5 og 7 * 73, således at mcd (15.511) = 1.

Som du kan se, er det en længere og mere besværlig opgave at bruge den anden karakterisering end at verificere den direkte.

7.- Overvej tallene -22 og -27. Derefter kan disse tal omskrives som følger: -22 = -2 * 11 og -27 = -3³. Derfor er gcd (-22, -27) = 1, så -22 og -27 relative primere.

referencer

  1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. & Soto, A. (1998). Introduktion til talteori. EUNED.
  2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmetiske elementer. Boghandel af Lords and Children Sons of Calleja.
  3. Castañeda, S. (2016). Grundkursus i talteori. University of the North.
  4. Guevara, M. H. (s.f.). Sættet af hele tallene. EUNED.
  5. Højere Institut for Læreruddannelse (Spanien), J. L. (2004). Tal, form og omfang i barnets miljø. Undervisningsministeriet.
  6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktisk matematik: aritmetisk, algebra, geometri, trigonometri og lysregulering (genoptryk ed.). Reverte.
  7. Rock, N. M. (2006). Algebra jeg er let! Så nemt. Team Rock Press.
  8. Smith, S. A. (2000). Algebra. Pearson Education.
  9. Szecsei, D. (2006). Grundlæggende matematik og præ-algebra (illustreret udgave). Karriere Presse.
  10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematik kursus. Editorial Progreso.
  11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Grundlæggende principper for aritmetik. ELIZCOM S.A.S.