Bayes sætning forklaring, applikationer, øvelser



den Bayes sætning er en procedure, der tillader os at udtrykke den betingede sandsynlighed for en tilfældig hændelse En given B, hvad angår sandsynlighedsfordelingen af ​​hændelse B givet A og sandsynlighedsfordelingen af ​​kun A.

Denne sætning er meget nyttig, fordi takket være det kan vi relatere sandsynligheden for, at en begivenhed A opstår, idet vi ved, at B forekom, med sandsynligheden for, at det modsatte forekommer, det vil sige, at B forekommer givet A.

Bayes 'sætning var et sølvtall fra reverend Thomas Bayes, en engelsk-teolog fra det 18. århundrede, som også var en matematiker. Han var forfatter til flere værker i teologi, men er i øjeblikket kendt for et par matematiske afhandlinger, blandt hvilke den førnævnte Bayes-sætning skiller sig ud som hovedresultatet..

Bayes behandlede denne sætning i et dokument med titlen "En Essay mod at løse et problem i Lære over Chancerne", udgivet i 1763, og hvor store værker er blevet udviklet til at løse et problem i lærdommen om muligheder. Studier med applikationer inden for forskellige områder af viden.

indeks

  • 1 Forklaring
  • 2 Anvendelser af Bayes sætning
    • 2.1 Besvarede øvelser
  • 3 referencer

forklaring

For det første er det nødvendigt at forstå grundlæggende teorier om sandsynlighedsteori for at forstå denne sætning, især multiplikationsteorien for betinget sandsynlighed, der hedder det

For E og A vilkårlig begivenheder i et prøverum S.

Og definitionen af ​​partitioner, som fortæller os, at hvis vi har A1 ,En2,..., An begivenheder i et prøverum S, vil disse danne en partition af S, hvis Ajeg de udelukker hinanden og deres fagforening er S.

At have dette, lad B være en anden begivenhed. Så kan vi se B som

Hvor Ajeg krydset med B er gensidigt eksklusive begivenheder.

Og dermed,

Derefter anvender multiplikations sætningen

På den anden side er den betingede sandsynlighed for Ai givet B defineret af

At erstatte tilstrækkeligt skal vi for enhver i

Anvendelser af Bayes sætning

Takket være dette resultat har forskergrupper og forskellige virksomheder formået at forbedre de systemer, der er baseret på viden.

For eksempel kan Bayes 'sætning i undersøgelsen af ​​sygdomme bidrage til at skelne sandsynligheden for, at en sygdom vil blive fundet hos en gruppe mennesker med en given karakteristik, idet de som data tager de globale satser for sygdommen og overhovedet af de nævnte egenskaber i folk både sunde og syge.

På den anden side har i verden af ​​høje teknologier påvirket store virksomheder, der har udviklet, takket være dette resultat, software "Baseret på Viden".

Som et dagligdags eksempel har vi Microsoft Office assistent. Bayes-sætningen hjælper softwaren til at vurdere de problemer, som brugeren præsenterer, og bestemme hvilke rådgivning der skal ydes og dermed kunne tilbyde en bedre service i henhold til brugerens vaner.

Det skal bemærkes, at denne formel blev ignoreret indtil nyere tid, skyldes det primært, at da dette resultat blev udviklet for 200 år siden, var der kun lidt praktisk brug for dem. Men i vores tid takket være de store teknologiske fremskridt har forskere opnået måder at sætte dette resultat i praksis.

Besvarede øvelser

Øvelse 1

En mobilvirksomhed har to maskiner A og B. 54% af de producerede mobiltelefoner fremstilles af maskine A og resten ved maskine B. Ikke alle producerede mobiltelefoner er i god stand.

Andelen af ​​defekte mobiltelefoner fremstillet af A er 0,2, og ved B er 0,5. Hvad er sandsynligheden for, at en mobiltelefon af fabrikken er defekt? Hvad er sandsynligheden for, at man ved at vide, at en mobiltelefon er defekt, kommer fra maskine A?

opløsning

Her har du et eksperiment, der er lavet i to dele; i første del forekommer begivenhederne:

A: mobiltelefon lavet af maskine A.

B: mobiltelefon lavet af maskine B.

Da maskine A producerer 54% af mobiltelefoner, og resten produceres af maskine B, producerer maskine B 46% af mobiltelefoner. Sandsynligheden for disse begivenheder er givet, nemlig:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Begivenhederne i anden del af eksperimentet er:

D: defekt celle.

E: Ikke-defekt celle.

Som det siges i udsagnet afhænger sandsynligheden for disse begivenheder af resultatet opnået i første del:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Ved hjælp af disse værdier kan du også bestemme sandsynligheden for komplementerne af disse begivenheder, det vil sige:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

og

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Nu kan begivenhed D skrives som følger:

Ved hjælp af multiplikationssatsen for betinget sandsynlighed resulterer det:

Med hvilket det første spørgsmål besvares.

Nu skal vi bare beregne P (A | D), som Bayes-sætningen gælder for:

Takket være Bayes sætning kan man sige, at sandsynligheden for at en mobiltelefon blev lavet af maskine A, idet man vidste at mobiltelefonen er defekt, er 0,399.

Øvelse 2

Tre kasser indeholder hvide og sorte kugler. Sammensætningen af ​​hver af dem er som følger: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

En af kasserne vælges tilfældigt, og en tilfældig bold udvindes fra den, som viser sig at være hvid. Hvilket er den boks, der mest sandsynligt er blevet valgt?

opløsning

Via U1, U2 og U3, repræsenterer vi også den valgte boks.

Disse begivenheder udgør en partition af S, og det er verificeret, at P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, da valget af kassen er tilfældigt.

Hvis B = den ekstraherede bold er hvid, vil vi have P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Hvad vi ønsker at få er sandsynligheden for at bolden blev taget ud af kassen Ui vidende at bolden var hvidt, det vil sige P (Ui | B) og se hvilke af de tre værdier der var de højeste at vide, hvilke kassen har højst sandsynligt udtaget den hvide bold.

Anvendelse af Bayes-sætningen til den første af rubrikkerne:

Og for de to andre:

P (U2 | B) = 2/6 og P (U3 | B) = 1/6.

Derefter er den første af kasser den, der har større sandsynlighed for at blive valgt til udvinding af den hvide bold.

referencer

  1. Kai Lai Chung Elementær Problemer Theory med Stokastiske Processer. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematik og dens applikationer. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Sandsynlighed og statistiske applikationer. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskret matematik Løst Problemer. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori og Problemer med Problemer. McGraw-Hill.