Bolzano's sætning forklaring, ansøgninger og øvelser løst

den Bolzano sætning hedder, at hvis en funktion er kontinuert i alle punkter af en lukket interval [a, b] og holder billedet af "a" og "b" (lav funktion) har modsat fortegn, så vil der være mindst ét ​​punkt "C" i det åbne interval (a, b), således at funktionen evalueret i "c" vil være lig med 0.

Denne læresætning blev formuleret af filosoffen, teolog og matematiker Bernard Bolzano i 1850. Denne videnskabsmand, som er født i nuværende Tjekkiet det var en af ​​de første matematikere i historien til at lave en formel demonstration af egenskaberne for kontinuerte funktioner.

indeks

• 1 Forklaring
• 2 Demonstration
• 3 Hvad er det for??
• 4 øvelser løst
  • 4.1 Øvelse 1
  • 4.2 Øvelse 2
• 5 referencer

forklaring

Bolzano's sætning er også kendt som den mellemliggende værdisætning, som hjælper med at bestemme bestemte værdier, især nuller, af visse reelle funktioner af en reel variabel.

I et givet f (x) kontinuerlig dvs. f (a) og f (b) er forbundet med en buet, hvor f (a) er under x-aksen (negativ), f (b) funktion over x-aksen (positiv), eller omvendt, grafisk eksisterer et snit i x-aksen repræsenterer en mellemliggende værdi af "c", som er mellem "a" og "b", og værdien af ​​f (c) vil være lig med 0.

Ved grafisk analyse af Bolzano's sætning kan vi vide, at for hver funktion f kontinuerligt defineret i et interval [a, b], hvor f (a)_*f (b) er mindre end 0, vil der være mindst en rod "c" af den funktion inden for intervallet (a, b).

Denne sætning fastlægger ikke antallet af punkter, der findes i det åbne interval, kun angiver, at der er mindst 1 point.

show

For at bevise Bolzano's sætning antages det uden tab af generalitet, at f (a) < 0 y f(b) > 0; på den måde kan der være mange værdier mellem "a" og "b", som f (x) = 0, men du behøver kun at vise, at der er en.

Begynd med at evaluere f ved midtpunktet (a + b) / 2. Hvis f ((a + b) / 2) = 0 slutter testen her; ellers er f ((a + b) / 2) positiv eller negativ.

En af halvdelene af intervallet [a, b] er valgt, således at tegnene på funktionen evalueret i enderne er forskellige. Dette nye interval vil være [a1, b1].

Nu, hvis f evalueret ved midtpunktet for [a1, b1] ikke er nul, udføres den samme operation som før; det vil sige, at halvdelen af ​​dette interval, der opfylder betingelserne for tegnene, er valgt. Vær dette nye interval [a2, b2].

Hvis denne proces fortsættes, vil der blive taget to successioner an og bn, således at:

an er stigende og bn falder:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Hvis du beregner længden af ​​hvert interval [ai, bi], skal du:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Derfor er grænsen, når n tenderer til uendelig (bn-an) lig med 0.

Ved at bruge an er stigende og afgrænset og bn er faldende og afgrænset, skal der være en værdi "c" sådan at:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Grænsen for an er "c" og grænsen på bn er også "c". Derfor er der altid en "n" på grund af hvilken som helst δ> 0, at intervallet [an, bn] er indeholdt i intervallet (c-δ, c + δ).

Nu skal det vises, at f (c) = 0.

Hvis f (c)> 0, så da f er kontinuert, eksisterer der en ε> 0 sådan, at f er positiv i hele intervallet (c-e, c + e). Som nævnt ovenfor eksisterer der imidlertid en værdi "n" sådan, at f ændringer logger ind [an, bn] og desuden er [an, bn] indeholdt i (c-e, c + e) hvad er en modsigelse.

Hvis f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 sådan, at f er negativ i hele intervallet (c-e, c + e); men der eksisterer en værdi "n" sådan at f ændringer logger ind [an, bn]. Det viser sig, at [an, bn] er indeholdt i (c-ε, c + ε), hvilket også er en modsigelse.

Derfor er f (c) = 0, og det er det, vi ønskede at demonstrere.

Hvad er det for??

Fra den grafiske fortolkning, er Bolzano sætning bruges til at finde rødder eller nuller i en kontinuerlig funktion gennem bisection (tilnærmelse), som er en metode, der altid deler trinvise søgning intervaller 2.

Tag derefter et interval [a, c] eller [c, b], hvor tegnændringen forekommer, og gentag processen, indtil intervallet er mindre og mindre, så du kan nærme den ønskede værdi. det vil sige den værdi, som funktionen gør 0.

Sammenfattende, for at anvende Bolzano's sætning og dermed finde rødderne, afgrænse nullerne af en funktion eller give en løsning til en ligning, udføres følgende trin:

- Det er verificeret, hvis f er en kontinuerlig funktion i intervallet [a, b].

- Hvis intervallet ikke er angivet, skal man finde, hvor funktionen er kontinuerlig.

- Det er verificeret, hvis intervallets ekstremer giver modsatte tegn, når de evalueres i f.

- Hvis modstående tegn ikke opnås, skal intervallet opdeles i to underintervaller ved hjælp af midtpunktet.

- Evaluer funktionen ved midtpunktet og verificer, at Bolzano-hypotesen er opfyldt, hvor f (a) _* f (b) < 0.

- Afhængigt af tegn (positiv eller negativ) af den fundne værdi gentages processen med en ny underinterval, indtil den nævnte hypotese er opfyldt.

Løste øvelser

Øvelse 1

Bestem om funktionen f (x) = x² - 2, har mindst en reel løsning i intervallet [1,2].

opløsning

Vi har funktionen f (x) = x² - 2. Da det er polynom, betyder det, at det er kontinuerligt i et hvilket som helst interval.

Du bliver bedt om at afgøre, om du har en reel løsning i intervallet [1, 2], så nu er du kun nødt til at erstatte enderne af intervallet i funktionen for at kende tegn på disse og vide, om de opfylder betingelsen om at være anderledes:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativ)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positiv)

Derfor tegn på f (1) ≠ tegn f (2).

Dette sikrer, at der er mindst et punkt "c", der tilhører intervallet [1,2], hvor f (c) = 0.

I dette tilfælde kan værdien af ​​"c" let beregnes som følger:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Således tilhører √2 ≈ 1,4 intervallet [1,2] og opfylder det f (√2) = 0.

Øvelse 2

Bevis at ligningen x⁵ + x + 1 = 0 har mindst en reel løsning.

opløsning

Først bemærk at f (x) = x⁵ + x + 1 er en polynomial funktion, hvilket betyder at det er kontinuerligt i alle reelle tal.

I dette tilfælde gives intet interval, så værdier skal vælges intuitivt, helst tæt på 0, for at evaluere funktionen og finde skiltændringer:

Hvis du bruger interval [0, 1] skal du:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Da der ikke er nogen tegnændring, gentages processen med et andet interval.

Hvis du bruger interval [-1, 0] skal du:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

I dette interval er der tegnskift: tegn på f (-1) ≠ tegn på f (0), hvilket betyder at funktionen f (x) = x⁵ + x + 1 har mindst en reel rod "c" i intervallet [-1, 0], sådan at f (c) = 0. Det er med andre ord sandt, at x⁵ + x + 1 = 0 har en reel løsning i intervallet [-1,0].

referencer

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Matematisk manual for ingeniører og studerende ... Redaktionel MIR.
2. George, A. (1994). Matematik og sind. Oxford University Press.
3. Ilín V, P. E. (1991). Matematisk analyse I tre bind ...
4. Jesús Gomez, F. G. (2003). Lærere af videregående uddannelse. Bind II MAD.
5. Mateos, M.L. (2013). Grundlæggende egenskaber ved analysen i R. Editores, Dec 20.
6. Piskunov, N. (1980). Differential og Integral Calculus ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematik til økonomisk analyse. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Kontinuerlig symmetri: Fra Euklid til Klein. American Mathematical Soc.