Euclids formuleringsformler, demonstration, ansøgning og øvelser

den Euclids sætning Det viser egenskaberne af en retvinklet trekant ved at tegne en linie, der deler det i to nye trekanter, der ligner hinanden, og til gengæld ligner den oprindelige trekant; så er der et forhold mellem proportionalitet.

Euclid var en af ​​de største matematikere og geometre i den gamle tidsalder, der gjorde flere demonstrationer af vigtige sætninger. En af de vigtigste er den der bærer hans navn, som har haft en bred anvendelse.

Dette har været sådan, fordi det gennem denne sætning forklarer på en simpel måde de geometriske forhold, der findes i den rigtige trekant, hvor benene af dette er relateret til deres fremskrivninger i hypotenuseen.

indeks

• 1 Formler og demonstration
  • 1.1 sætning af højden
  • 1.2 Stilling af benene
• 2 Forholdet mellem Euclids sætninger
• 3 øvelser løst
  • 3.1 Eksempel 1
  • 3.2 Eksempel 2
• 4 referencer

Formler og demonstration

Euclid sætning antyder, at alle retvinklet trekant, hvor en linie, der repræsenterer højde svarende til toppunktet af den rette vinkel henledes på hipotenusa- to retvinklede trekanter er dannet fra den oprindelige.

Disse trekanter vil ligner hinanden og vil også ligner den oprindelige trekant, hvilket betyder at deres tilsvarende sider er proportionale med hinanden:

De tre trekants vinkler er kongruente; det vil sige når der drejes 180 grader på sin toppunkt, falder en vinkel på den anden. Dette indebærer, at alle vil være lige.

På denne måde kan du også bekræfte ligheden mellem de tre trekanter ved deres vinkels lighed. Fra trekantens lighed fastlægger Euclid proportionerne af disse fra to sætninger:

- Højtsætning.

- Benens sætning.

Denne sætning har en bred anvendelse. I antikken blev det brugt til at beregne højder eller afstande, hvilket repræsenterer et stort fremskridt for trigonometri.

Det anvendes i øjeblikket på flere områder, der er baseret på matematik, såsom teknik, fysik, kemi og astronomi blandt mange andre områder.

Højtsætning

Denne sætning, at enhver retvinklet trekant, højden drages af vinkelret på hypotenusen er den geometriske middelværdi proportional (kvadratet af højden) mellem fremspringene af benene bestemmer hypotenusen.

Det vil sige, højdepunktet er lig med multiplikationen af ​​de projicerede ben, som danner hypotenuseet:

h_c² = m _* n

show

I betragtning af en trekant ABC, som er et rektangel på hjørnet C, genereres der ved planlægning af højden to tilsvarende højre trekanter, ADC og BCD; Derfor er deres tilsvarende sider proportionelle:

På en sådan måde at højden h_c som svarer til segmentet CD, svarer til hypotenus AB = c, så vi skal:

Til gengæld svarer dette til:

Rensning af hypotenuse (h_c), for at formere de to ligestillingsmedlemmer skal du:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_c² = m _* n

Således er værdien af ​​hypotenusen givet af:

Benens sætning

Denne sætning, at den i enhver retvinklet trekant, omfanget af hvert ben er proportional geometriske gennemsnit (kvadratet på hvert ben) mellem målingen af ​​hypotenusen (komplet) og hvert fremspring på denne:

b² = c _* m

til² = c_* n

show

Givet en trekant ABC, der er rektangel ved toppunktet C, således at dens hypotenuse er c, ved at plotte højden (h) projektionerne af benene b, som er segmenter m og n hhv og som er på bestemmes hypotenusen.

Således har vi, at højden tegnet på den højre trekant ABC genererer to tilsvarende højre trekanter, ADC og BCD, således at de tilsvarende sider er proportionelle, således:

DB = n, hvilket er projektionen af ​​CB-benet på hypotenusen.

AD = m, hvilket er fremspringet af katet AC på hypotenusen.

Derefter bestemmes hypotenus c af summen af ​​benene på dets fremspring:

c = m + n

På grund af ligheden mellem trianglerne ADC og BCD skal vi:

Ovennævnte er det samme som:

Ved at rydde benet "a" for at formere de to ligestillingsmedlemmer, skal man:

til _* a = c _* n

til² = c _* n

Således er værdien af ​​benet "a" givet af:

På samme måde skal vi ved ligheden mellem trianglerne ACB og ADC:

Ovenstående er lig med:

Ved at rydde benet "b" for at formere de to ligestillingsmedlemmer, skal man:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Således er værdien af ​​benet "b" givet af:

Forholdet mellem Euclids sætninger

Stemaerne med hensyn til højde og ben er relateret til hinanden, fordi måling af begge er lavet i forhold til hypotenussen i den højre trekant.

Gennem Euclid's sætninger kan værdien af ​​højde også findes; det er muligt ved at rydde værdierne for m og n fra benets sætning, og de erstattes i højde sætningen. På denne måde er højden lig med multiplikationen af ​​benene divideret med hypotenusen:

b² = c _* m

m = b² ÷ c

til² = c _* n

n = a² ÷ c

I højde sætningen, m og n er erstattet:

h_c² = m _* n

h_c² = (b² ÷ c) _* (en² ÷ c)

h_c = (b²_* til²) ÷ c

Løste øvelser

Eksempel 1

I betragtning af trekanten ABC, rektangel i A, bestemmer målingen af ​​AC og AD, hvis AB = 30 cm og BD = 18 cm

opløsning

I dette tilfælde har vi målinger af et af de fremspringede ben (BD) og af et af benene på den originale trekant (AB). På den måde kan du anvende ben-sætningen til at finde værdien af ​​BC-benet.

AB² = BD _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Værdien af ​​cd-katetret kan findes at vide, at BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nu er det muligt at bestemme værdien af ​​cathetus AC, og påfør igen benets sætning:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

For at bestemme værdien af ​​højden (AD) anvendes højde sætningen, da værdierne af de fremspringede ben CD og BD er kendt:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Eksempel 2

Bestem værdien af ​​højden (h) af en trekant MNL, rektangel i N, som kender målingerne af segmenterne:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

opløsning

Du har måling af et af de ben, der projiceres på hypotenusen (PM), samt målingerne af benene på den oprindelige trekant. På denne måde kan legteormen anvendes til at finde værdien af ​​det andet projicerede ben (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Som vi allerede kender værdien af ​​benene og hypotenusen, kan højdenes værdi bestemmes ved hjælp af forholdet mellem højde og benets sætninger:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* til²) ÷ c.

h = (10²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referencer

1. Braun, E. (2011). Chaos, fraktaler og underlige ting. Økonomisk Kulturfond.
2. Cabrera, V. M. (1974). Moderne matematik, bind 3.
3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3. årig matematik Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, R. P. (1886). Euclid's Elements of Geometry.
6. Guardeño, A.J. (2000). Matematikens arv: Fra Euclid til Newton, genierne gennem hans bøger. University of Seville.