Isometrisk transformationskomposition, typer og eksempler



den Isometriske transformationer de er ændringer af position eller orientering af en bestemt figur, der ikke ændrer hverken form eller størrelse. Disse transformationer er klassificeret i tre typer: oversættelse, rotation og refleksion (isometri). Generelt giver geometriske transformationer mulighed for at skabe en ny figur fra en anden given.

En omdannelse til en geometrisk figur betyder, at den på en eller anden måde blev udsat for en vis forandring; det var, at det var ændret. Ifølge originalets og lignende i planet kan geometriske transformationer klassificeres i tre typer: isometrisk, isomorf og anamorf..

indeks

  • 1 kendetegn
  • 2 typer
    • 2.1 Ved oversættelse
    • 2.2 ved rotation
    • 2.3 Ved refleksion eller symmetri
  • 3 Sammensætning
    • 3.1 Sammensætning af en oversættelse
    • 3.2 Sammensætning af en rotation
    • 3.3 Sammensætning af en symmetri
  • 4 referencer

funktioner

Isometriske transformationer opstår, når størrelserne af segmenterne og vinklerne mellem den oprindelige figur og den transformerede er bevaret.

I denne type transformation ændres hverken formen eller størrelsen af ​​figuren (de er kongruente), det er kun en ændring af positionen af ​​figuren, enten i orienteringen eller i retningen. På denne måde vil de indledende og endelige figurer være ens og geometrisk kongruente.

Isometri henviser til lighed; det vil sige at de geometriske figurer vil være isometriske, hvis de har samme form og størrelse.

I de isometriske transformationer er det eneste, der kan observeres, en positionændring i flyet, der opstår en stiv bevægelse, hvorigennem figuren går fra en startposition til en slutposition. Denne figur hedder homolog (lignende) af originalen.

Der er tre typer bevægelser, der klassificerer en isometrisk transformation: oversættelse, rotation og refleksion eller symmetri.

typen

Ved oversættelse

Er de isometrier der tillader at flytte i lige linje alle punkter i flyet i en given retning og afstand.

Når en figur forvandles ved oversættelse, ændrer den ikke sin orientering i forhold til den indledende position, og det taber heller ikke dets interne målinger, målene af dets vinkler og sider. Denne type forskydning er defineret af tre parametre:

- En adresse, som kan være vandret, lodret eller skråt.

- En følelse, som kan være til venstre, højre, op eller ned.

- Afstand eller størrelse, som er længden fra den indledende position til slutningen af ​​et punkt, der bevæger sig.

For en isometrisk transformation ved oversættelse skal opfyldes, skal den opfylde følgende betingelser:

- Figuren skal altid holde alle sine dimensioner, både lineære og vinkelformede.

- Figuren ændrer ikke sin position i forhold til den vandrette akse; det vil sige, dets vinkel varierer aldrig.

- Oversættelserne vil altid blive opsummeret i en, uanset antallet af oversættelser, der er foretaget.

I et plan, hvor centret er et punkt O, med koordinater (0,0), defineres oversættelsen af ​​en vektor T (a, b), som angiver forskydningen af ​​startpunktet. Det er:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Hvis en oversættelse T (-4, 7) f.eks. Påføres koordinatpunktet P (8, -2), opnår vi:

P (8,2) + T (-4,7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

I det følgende billede (venstre) kan man se, hvordan punkt C flyttede til at falde sammen med punkt D. Det gjorde det i lodret retning, retningen var opad og cd'en med afstand eller størrelse var 8 meter. I det rigtige billede ses oversættelsen af ​​en trekant:

Ved rotation

De er de isometrier, der tillader figuren at rotere alle punkter i et fly. Hvert punkt roterer efter en lysbue, der har en konstant vinkel, og et fast punkt (rotationscentret) bestemmes.

Det vil sige, at alle rotationer vil blive defineret af dets rotationscenter og rotationsvinkel. Når en figur omdannes ved rotation, holder den målingen af ​​sine vinkler og sider.

Drejningen sker i en bestemt retning, er positiv, når drejningen er mod uret (i modsætning til hvordan klokens hænder roterer) og negativ, når drejningen drejes med uret.

Hvis et punkt (x, y) roteres med hensyn til oprindelsen - det vil sige dets omdrejningssted er (0,0) - i en vinkel på 90eller til 360eller Koordinaterne af punkterne vil være:

I tilfælde af, at rotationen ikke har noget center ved oprindelsen, skal koordinatsystemets oprindelse overføres til den nye givne oprindelse for at kunne dreje figuren med oprindelsen som oprindelse.

For eksempel, hvis punktet P (-5.2) gives en rotation på 90eller, omkring oprindelsen og i en positiv forstand vil dens nye koordinater være (-2,5).

Ved refleksion eller symmetri

De er de transformationer, der omdanner planets punkter og figurer. Denne investering kan være med hensyn til et punkt, eller det kan også være med hensyn til en lige linje.

Med andre ord, i denne form for transformation er hvert punkt i den oprindelige figur forbundet med et andet punkt (billede) af den homologe figur på en sådan måde, at punktet og dets billede er i samme afstand fra en linje kaldet symmetriaksen..

Således er den venstre del af figuren en afspejling af den højre del uden at ændre dens form eller dens dimensioner. Symmetrien omdanner en figur til en anden, omend i modsat retning, som det kan ses i følgende billede:

Symmetri er til stede i mange aspekter, som i nogle planter (solsikker), dyr (påfugl) og naturlige fænomener (snefnug). Mennesket afspejler det på hans ansigt, hvilket anses for en skønhedsfaktor. Refleksionen eller symmetrien kan bestå af to typer:

Central symmetri

Det er den transformation, der forekommer med hensyn til et punkt, hvor figuren kan ændre sin orientering. Hvert punkt i den oprindelige figur og dens billede er i samme afstand fra et punkt O, kaldet symmetriens centrum. Symmetrien er central, når:

- Både punktet og dets billede og center tilhører samme linje.

- Med en rotation på 180eller center O du får en figur svarende til originalen.

- Stropperne i den oprindelige figur er parallelle med stregene af den dannede figur.

- Fornemmelsen af ​​figuren ændres ikke, den vil altid være med uret.

Denne transformation sker i forhold til symmetriaksen, hvor hvert punkt i den indledende figur er forbundet med et andet punkt i billedet, og disse er i samme afstand fra symmetriaksen. Symmetrien er aksial når:

- Segmentet, der forbinder et punkt med dets billede, er vinkelret på symmetriaksen.

- Tallene ændrer retning med hensyn til drejningen eller med uret.

- Når man deler figuren med en central linje (symmetriakse), matcher en af ​​de resulterende halvdele fuldstændigt med en anden halvdel.

sammensætning

En sammensætning af isometriske transformationer refererer til den på hinanden følgende anvendelse af isometriske transformationer på samme figur.

Sammensætning af en oversættelse

Sammensætningen af ​​to oversættelser resulterer i en anden oversættelse. Når der er gjort på flyet, ændres kun koordinaterne for den akse på den vandrette akse (x), mens koordinaterne for den lodrette akse (y) forbliver de samme og omvendt.

Sammensætning af en rotation

Sammensætningen af ​​to sving med samme center resulterer i en anden sving, som har det samme center og hvis amplitude vil være summen af ​​amplituderne af de to omdrejninger.

Hvis midten af ​​svingene har anderledes center, vil snittet af bisektoren af ​​to segmenter af tilsvarende punkter være centrum for sving.

Sammensætning af en symmetri

I dette tilfælde afhænger sammensætningen af, hvordan den anvendes:

- Hvis den samme symmetri anvendes to gange, bliver resultatet en identitet.

- Hvis der anvendes to symmetrier med hensyn til to parallelle akser, vil resultatet være en oversættelse, og dens forskydning er to gange afstanden for disse akser:

- Hvis der anvendes to symmetrier med hensyn til to akser, der skæres ved punktet O (midten), opnås en rotation med center ved O, og dens vinkel vil være dobbelt så stor som vinklen dannet af akserne:

referencer

  1. V Burgués, J. F. (1988). Materialer til opbygning af geometri. Madrid: Syntese.
  2. Cesar Calavera, I.J. (2013). Teknisk tegning II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of Geometry Mexico: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometri En transformationsmetode. USA: Laidlaw Brothers.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Induktion og formalisering i undervisningen af ​​de stive transformationer i CABRI miljøet.
  6. , P.J. (1996). Gruppen af ​​plane isometrier. Madrid: Syntese.
  7. Suárez, A.C. (2010). Transformationer i flyet. Gurabo, Puerto Rico: AMCT .