Trinomial af form x ^ 2 + bx + c (med eksempler)

Før du lærer at løse trinomial af formen x ^ 2 + bx + c, og selv før man kender begrebet trinomial, er det vigtigt at kende to væsentlige begreb; nemlig begreberne monomial og polynomial. En monom er et udtryk for typen a * xⁿ, hvor a er et rationelt tal, n er et naturligt tal og x er en variabel.

Et polynom er en lineær kombination af monomier af formen a_n* xⁿ+til_n-1* x^n-1+... + a₂* x²+til₁* x + a₀, hvor hver a_jeg, med i = 0, ..., n, er et rationelt tal, n er et naturligt tal og a_n er ikke-null. I dette tilfælde siges det, at graden af ​​polynomet er n.

Et polynom dannet af summen af ​​kun to udtryk (to monomialer) af forskellige grader, kaldes binomial.

indeks

• 1 Trinomials
  • 1.1 Perfekt kvadratisk trinomial
• 2 Karakteristik af trin 2 trin 2
  • 2.1 Perfekt firkant
  • 2.2 Opløsningsmiddelformel
  • 2.3 Geometrisk fortolkning
  • 2.4 Factoring af trinomier
• 3 eksempler
  • 3.1 Eksempel 1
  • 3.2 Eksempel 2
• 4 referencer

trinomials

Et polynom dannet af summen af ​​kun tre udtryk (tre monomialer) af forskellige grader er kendt som et trinomialt. Følgende er eksempler på trinomier:

• x³+x²+5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+6x + 3

Der er flere typer trinomier. Af disse fremhæves det perfekte kvadratiske trinomiale.

Perfekt kvadratisk trinomial

En perfekt kvadrat trinomial er resultatet af at hæve en binomial kvadreret. For eksempel:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+y)²= 4x⁶+4x³y + y²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²og⁴+4y⁸
• 1 / 16x²og⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Karakteristik af trin 2 trin 2

Perfekt firkant

Generelt er et trinomial af form-aksen²+bx + c er et perfekt firkant, hvis dets diskriminator er lig med nul; det vil sige, hvis b²-4ac = 0, da det i dette tilfælde kun vil have en rod og kan udtrykkes i form a (x-d)²= (√a (x-d))², hvor d er roden allerede nævnt.

En rod af et polynom er et tal, hvor polynomet bliver nul; med andre ord et tal, der ved at erstatte det i x i udtrykket polynomial resulterer i nul.

Opløsningsmiddelformel

En generel formel til beregning af rødderne af et polynom i den anden grad af form-aksen²+bx + c er formlen for resolveren, som siger at disse rødder er givet af (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, hvor b²-4ac er kendt som diskriminanten og betegnes sædvanligvis af Δ. Fra denne formel følger det at øksen²+bx + c har:

- To forskellige reelle rødder hvis Δ> 0.

- En enkelt rigtig rod, hvis Δ = 0.

- Den har ingen reel rod, hvis Δ<0.

I det følgende vil vi kun overveje trinomierne af formen x²+bx + c, hvor klart c skal være et ikke-nul nummer (ellers ville det være et binomial). Denne type trinomialer har visse fordele ved factoring og drift med dem.

Geometrisk fortolkning

Geometrisk, trinomialet x²+bx + c er en parabola, der åbner opad og har vertexet ved punktet (-b / 2, -b²/ 4 + c) af det kartesiske plan, fordi x²+bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Denne parabola skærer Y-aksen ved punktet (0, c) og X-aksen på punkterne (d₁,0) og (d)₂,0); så d₁ og d₂ de er tromomens rødder. Det kan ske, at trinometret har en enkelt rod d, i hvilket tilfælde den eneste snit med X-aksen ville være (d, 0).

Det kan også ske, at trinometret ikke har nogen egentlige rødder, i hvilket tilfælde det ikke ville skære X-aksen til enhver tid.

For eksempel x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² er parabolen med vertex i (-3,0), som skærer Y-aksen i (0,9) og X-aksen i (-3,0).

Trinomial faktorisering

Et meget nyttigt værktøj når man arbejder med polynomier er factoring, hvilket er at udtrykke et polynom som et produkt af faktorer. Generelt givet et trinomial af formen x²+bx + c, hvis dette har to forskellige rødder d₁ og d₂, det kan betragtes som (x-d)₁) (x-d)₂).

Hvis du kun har én root d, kan du faktorere det som (x-d) (x-d) = (x-d)², og hvis den ikke har nogen egentlige rødder, bliver den den samme; i dette tilfælde understøtter det ikke en faktorisering som et produkt af andre faktorer end sig selv.

Det betyder, at man ved at kende rødderne af et trinomial af den allerede etablerede form, kan faktoriseres let, og som allerede nævnt kan disse rødder altid bestemmes ved hjælp af opløsningsmidlet.

Der er dog en betydelig mængde af denne type trinomer, der kan faktureres uden at skulle vide deres rødder på forhånd, hvilket forenkler arbejdet.

Rødderne kan bestemmes direkte fra faktoriseringen uden at det er nødvendigt at bruge formlen til resolveren; disse er polynomerne af formen x² +(a + b) x + ab. I dette tilfælde har du:

x²+(a + b) x + ab = x²+akse + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Herfra er det let at se, at rødderne er -a og -b.

Med andre ord, givet et trinomial x²+bx + c, hvis der er to tal u og v sådan at c = uv og b = u + v, derefter x²+bx + c = (x + u) (x + v).

Det er givet en trinomial x²+bx + c, kontroller først, om der er to tal sådan, at multipliceret den uafhængige term (c) og tilføjet (eller subtraheret alt efter sagen), giv termen, der følger med x (b).

Ikke med alle trinomier på denne måde kan denne metode anvendes hvor du ikke kan, skal du gå til løsningen og anvende ovennævnte.

eksempler

Eksempel 1

At faktor følgende trinomiale x²+3x + 2 fortsætter vi som følger:

Du skal finde to tal sådan, at når du tilføjer dem, er resultatet 3, og når du formere dem, er resultatet 2.

Efter en inspektion kan det konkluderes, at de søgte tal er: 2 og 1. Derfor x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Eksempel 2

At faktor trinomialet x²-5x + 6 vi ser efter to tal, hvis sum er -5 og dets produkt er 6. Tallene, der opfylder disse to betingelser, er -3 og -2. Derfor er faktoriseringen af ​​det givne trinom x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

referencer

1. Kilder, A. (2016). BASISK MATHEMATIK. En introduktion til beregning. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: Kvadratiske ligninger: Sådan løses en kvadratisk ligning. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematik for administration og økonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M. & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. tærskel.
5. Preciado, C. T. (2005). Matematikkursus 3o. Editorial Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra jeg er let! Så nemt. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Education.