Isosceles trekant funktioner, formel og område, beregning



en ensidige trekant Det er en tresidet polygon, hvor to af dem har samme måling og den tredje side en anden måling. Denne sidste side hedder base. På grund af denne karakteristika blev det givet dette navn, hvilket på græsk betyder "lige ben"

Triangler er polygoner anset for at være den enkleste i geometri, fordi de er dannet af tre sider, tre vinkler og tre hjørner. De er dem, der har det mindste antal sider og vinkler i forhold til de andre polygoner, men dens anvendelse er meget omfattende.

indeks

  • 1 Karakteristik af ligemønstre trekanter
    • 1.1 Komponenter
  • 2 Egenskaber
    • 2.1 Indvendige vinkler
    • 2.2 Summen af ​​siderne
    • 2.3 Kongruente sider
    • 2.4 Kongruente vinkler
    • 2,5 Højde, median, bisektor og bisector er sammenfaldende
    • 2.6 Relative højder
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter sammenfaller
  • 3 Sådan beregnes omkredsen?
  • 4 Sådan beregnes højden?
  • 5 Sådan beregnes området?
  • 6 Sådan beregnes bunden af ​​trekanten?
  • 7 øvelser
    • 7.1 Første øvelse
    • 7.2 Anden øvelse
    • 7.3 Tredje øvelse
  • 8 referencer

Karakteristika for ensidige trekanter

Den ensidige trekant blev klassificeret ved hjælp af måling af siderne som en parameter, da to af dens sider er kongruente (de har samme længde).

Ifølge amplituden af ​​de indvendige vinkler klassificeres isosceles-trekanterne som:

  • Rektangulære ensidige trekant: to af siderne er ens. En af sine vinkler er lige (90eller) og de andre er de samme (45eller hver enkelt)
  • Isosceles stump vinkel trekant: to af siderne er ens. En af sine vinkler er uklar (> 90eller).
  • Isosceles akut vinklet trekant: to af siderne er ens. Alle vinkler er skarpe (< 90eller), hvor to har samme mål.

komponenter

  • Medianen: er en linje, der går fra midtpunktet på den ene side og når det modsatte vertex. De tre medianer er enige om et punkt kaldet centroid eller centroid.
  • Bisektoren: er en stråle, der deler vinklen på hvert hjørne i to vinkler af samme størrelse. Derfor er det kendt som symmetriaksen, og denne type trekanter har kun en.
  • Mediatrixen: er et segment vinkelret på siden af ​​trekanten, der stammer i midten af ​​dette. Der er tre medier i en trekant og de er enige om et punkt kaldet circuncentro.
  • Højden: er linjen, der går fra vertex til den side der er modsat, og også denne linje er vinkelret på den side. Alle trekanter har tre højder, som falder sammen i et punkt kaldet orthocenter.

egenskaber

Isosceles-trekanter er defineret eller identificeret, fordi de har flere egenskaber, der repræsenterer dem, stammede fra de teoremer, der er foreslået af store matematikere:

Indvendige vinkler

Summen af ​​de indvendige vinkler er altid lig med 180eller.

Summen af ​​siderne

Summen af ​​foranstaltningerne af to sider skal altid være større end målen på den tredje side, a + b> c.

Kongruente sider

Isosceles triangler har to sider med samme mål eller længde; det vil sige, de er kongruente og den tredje side er forskellig fra disse.

Kongruente vinkler

Isosceles triangler er også kendt som isovinkler trekanter, fordi de har to vinkler, der har samme mål (kongruenter). Disse er placeret ved bunden af ​​trekanten, modsat siderne, der har samme længde.

På grund af dette er sætningen der fastslår det:

"Hvis en trekant har to kongruente sider, vil vinklerne modsat disse sider også være kongruente." Derfor, hvis en trekant er ensartet, er vinklerne af dens baser kongruente.

eksempel:

Den følgende figur viser en trekant ABC. Ved at spore sin bisektor fra vertexet af vinkel B til basen er trekanten opdelt i to trekanter lig med BDA og BDC:

Således blev vinklen af ​​vertex B også opdelt i to lige vinkler. Bisektoren er nu siden (BD) fælles mellem de to nye trekanter, mens siderne AB og BC er kongruente sider. Så du har tilfældet med kongruens side, vinkel, side (LAL).

Dette viser, at vinklerne i vinklerne A og C har samme mål, ligesom det også kan påvises, at da trianglerne BDA og BDC er kongruente, er AD og DC siderne også kongruente..

Højde, median, bisektor og bisector er sammenfaldende

Linjen, der trækkes fra vertexet modsat basen til midterpunktet af basisen af ​​den isosceles trekant, er samtidig højden, medianen og bisektoren såvel som bisektoren i forhold til den modsatte vinkel af basen.

Alle disse segmenter falder sammen i en, der repræsenterer dem.

eksempel:

Den følgende figur viser trekanten ABC med en midtpunkt M, der deler basen i to segmenter BM og CM.

Når du tegner et segment fra punktet M til det modsatte vertex, får du per definition den median AM, som er i forhold til vertexen A og BC-siden.

Da AM-segmentet deler trekant ABC i to lige trekant AMB og AMC, betyder det, at tilfældet med side, vinkel, sidekonruens vil blive taget, og derfor vil AM også være bisectoren af ​​BÂC.

Derfor vil bisektoren altid være lig med medianen og omvendt.

AM-segmentet danner vinkler, der har samme mål for AMB- og AMC-trekanterne; det vil sige, de er supplerende på en sådan måde, at foranstaltningen for hver enkelt vil være:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180eller

2 * Med. (AMC) = 180eller

Med. (AMC) = 180eller ÷ 2

Med. (AMC) = 90eller

Det kan være kendt, at vinklerne dannet af AM-segmentet i forhold til bunden af ​​trekanten er lige, hvilket indikerer, at dette segment er helt vinkelret på bunden.

Derfor repræsenterer det højden og bisektoren, idet man ved at M er midtpunktet.

Derfor er den lige linje AM:

  • Representerer højden af ​​BC.
  • Det er medium.
  • Det er indeholdt i BC's mediatrix.
  • Det er bisektoren af ​​vertex vinklen Â

Relative højder

Højderne, der er i forhold til de lige sider, har også samme mål.

Da den ensomme trekant har to lige sider, vil deres to respektive højder ligeledes være ens.

Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter sammenfaller

Da højden, medianen, bisektoren og bisektoren i forhold til basen er repræsenteret på samme tid af samme segment, vil orthocenteret, centrocentrisk incenter og circumcenter være collinære punkter, dvs. de vil være på samme linje:

Sådan beregnes omkredsen?

Omkredsen af ​​en polygon beregnes ved summen af ​​siderne.

Som i dette tilfælde har den ensomme trekant to sider med samme mål, dens omkreds beregnes med følgende formel:

P = 2*(side a) + (side b).

Sådan beregnes højden?

Højden er linien vinkelret på bunden, dividerer trekanten i to lige store dele ved at strække sig til det modsatte vertex.

Højden repræsenterer det modsatte ben (a), halvdelen af ​​basen (b / 2) til det tilstødende ben og "a" -siden repræsenterer hypotenuse.

Ved hjælp af Pythagoras sætning kan du bestemme værdien af ​​højden:

til2 + b2 = c2

hvor:

til2 = højde (h).

b2 = b / 2.

c2 = side a.

At erstatte disse værdier i Pythagoras sætning og rydde højden vi har:

h2 + (b / 2)2 = til2

h2 + b2 / 4 = til2

h2 = til2 - b2 / 4

h = √ (til2 - b2 / 4).

Hvis vinklen dannet af kongruente sider er kendt, kan højden beregnes med følgende formel:

Sådan beregnes området?

Trianglenes område beregnes altid med samme formel, idet basen multipliceres med højde og divideres med to:

Der er tilfælde hvor kun målinger af to sider af trekanten og den vinkel der dannes mellem dem er kendt. I dette tilfælde for at bestemme området er det nødvendigt at anvende trigonometriske forhold:

Sådan beregnes bunden af ​​trekanten?

Da den ensomme trekant har to lige sider, skal man i det mindste bestemme højden eller en af ​​dens vinkler for at bestemme værdien af ​​sin base..

Kendskab til højden bruges Pythagoras sætning:

til2 + b2 = c2

hvor:

til2 = højde (h).

c2 = side a.

b2 = b / 2, er ukendt.

Vi rydde b2 af formlen og vi skal:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Da denne værdi svarer til halvdelen af ​​basen, skal den multipliceres med to for at opnå den komplette måling af basen af ​​ligemåbens trekant:

b = 2 * (√ a2 - c2)

I det tilfælde, at kun værdien af ​​dens lige sider og vinklen mellem dem er kendt, anvendes trigonometri, idet der spores en linje fra vertexet til bunden, der adskiller det samme trekant i to rigtige trekanter.

På denne måde beregnes halvdelen af ​​basen med:

Det er også muligt, at kun værdien af ​​højden og vinklen på vertexet, der er modsat baseen, er kendt. I så fald ved trigonometri kunne basen bestemmes:

uddannelse

Første øvelse

Find området af det ensidige trekant ABC, ved at to af siderne måler 10 cm og den tredje side måler 12 cm.

opløsning

For at finde området i trekanten er det nødvendigt at beregne højden ved hjælp af formlen for området, der er relateret til Pythagoras sætning, da værdien af ​​vinklen dannet mellem de lige sider ikke er kendt.

Vi har følgende data af den ensidige trekant:

  • Lige sider (a) = 10 cm.
  • Base (b) = 12 cm.

Værdierne i formlen erstattes:

Anden øvelse

Længden af ​​de to lige sider af en enslig trekant måler 42 cm, foreningen af ​​disse sider danner en vinkel på 130eller. Bestem værdien af ​​den tredje side, området for den trekant og omkredsen.

opløsning

I dette tilfælde er målingerne af siderne og vinklen mellem disse kendt.

For at kende værdien af ​​den manglende side, det vil sige bunden af ​​den trekant, tegnes en linje vinkelret på den, idet vinklen fordeles i to lige store dele, en for hver højre trekant, der dannes.

  • Lige sider (a) = 42 cm.
  • Vinkel ()) = 130eller

Nu ved trigonometri beregnes værdien af ​​halvdelen af ​​basen, hvilket svarer til halvdelen af ​​hypotenusen:

For at beregne det område, du har brug for at kende højden af ​​trekanten, der kunne beregnes ved trigonometri eller Pythagoras læresætning, nu, at værdien af ​​basen blev allerede fastlagt.

Ved trigonometri vil det være:

Omkredsen beregnes:

P = 2*(side a) + (side b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tredje øvelse

Beregne de indre vinkler af den isosceles trekant ved at vide, at vinklen på basen er  = 55eller

opløsning

For at finde de to manglende vinkler (Ê og Ô) er det nødvendigt at huske to egenskaber af trekanterne:

  • Summen af ​​de indvendige vinkler af hver trekant vil altid være = 180eller:

 + Ê + Ô = 180 eller

  • I et ensartet trekant er basisvinklerne altid kongruente, det vil sige at de har samme mål derfor:

 = Ô

Ê = 55eller

For at bestemme værdien af ​​vinklen Ê skal du erstatte værdierne for de andre vinkler i den første regel og rydde Ê:

55eller + 55eller + Ô = 180 eller

110 eller + Ô = 180 eller

Ô = 180 eller - 110 eller

Ô = 70 eller.

referencer

  1. Álvarez, E. (2003). Elementer af geometri: med mange øvelser og geometri af kompassen. Universitetet i Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Teknisk tegning: aktiviteter notesbog.
  3. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
  6. José Jiménez, L.J. (2006). Matematik 2.
  7. Tuma, J. (1998). Engineering Mathematics Handbook. Wolfram MathWorld.