Skala trekant funktioner, formel og områder, beregning



en skalent trekant Det er en tresidet polygon, hvor alle har forskellige målinger eller længder; Af den grund får man navnet Scalene, hvilket på latin betyder klatring.

Triangler er polygoner betragtes som de enkleste i geometri, fordi de er dannet tre sider, tre vinkler og tre hjørner. I tilfældet med scalene-trekanten, fordi den har alle de forskellige sider, betyder det, at dens tre vinkler også vil være forskellige..

indeks

  • 1 Karakteristik af scalentriangler
    • 1.1 Komponenter
  • 2 Egenskaber
    • 2.1 Indvendige vinkler
    • 2.2 Summen af ​​siderne
    • 2.3 Uoverensstemmende sider
    • 2.4 Ukonstruerede vinkler
    • 2,5 Højde, median, bisector og bisector er ikke sammenfaldende
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter er ikke sammenfaldende
    • 2.7 Relative højder
  • 3 Sådan beregnes omkredsen?
  • 4 Sådan beregnes området?
  • 5 Sådan beregnes højden?
  • 6 Sådan beregnes siderne?
  • 7 øvelser
    • 7.1 Første øvelse
    • 7.2 Anden øvelse
    • 7.3 Tredje øvelse
  • 8 referencer

Karakteristika for scalene triangler

Skalertriangler er simple polygoner, fordi ingen af ​​deres sider eller vinkler har samme mål, i modsætning til ligemængder og ensidige trekanter.

Fordi alle sider og vinkler har forskellige målinger, betragtes disse trekanter som uregelmæssige konvekse polygoner.

Ifølge amplituden af ​​de indre vinkler er skalentrianglerne klassificeret som:

  • Skala rektangel trekant: alle sider er forskellige. En af sine vinkler er lige (90eller) og de andre er skarpe og med forskellige foranstaltninger.
  • Skala stump vinkeltrekant: alle sider er forskellige, og en af ​​dens vinkler er stump (> 90eller).
  • Scale acut vinkel trekant: alle sider er forskellige. Alle vinkler er skarpe (< 90eller) med forskellige foranstaltninger.

Et andet kendetegn ved scalene-trekanter er, at de på grund af uoverensstemmelsen mellem deres sider og vinkler ikke har en symmetriakse.

komponenter

Medianen: er en linje, der går fra midtpunktet på den ene side og når det modsatte vertex. De tre medianer er enige om et punkt kaldet centroid eller centroid.

Bisektoren: er en stråle, som deler hver vinkel i to vinkler af samme størrelse. En trekants bisektorer er i overensstemmelse med punktet incentro.

Mediatrixen: er et segment vinkelret på siden af ​​trekanten, der stammer i midten af ​​dette. Der er tre mediatriker i en trekant og tilslutter sig et punkt kaldet circumcenter.

Højden: er linjen, der går fra vertex til den side der er modsat, og også denne linje er vinkelret på den side. Alle trekanter har tre højder, der falder sammen på et punkt kaldet orthocenter.

egenskaber

Skalertriangler defineres eller identificeres, fordi de har flere egenskaber, der repræsenterer dem, stammende fra de teoremer, der er foreslået af store matematikere. De er:

Indvendige vinkler

Summen af ​​de indvendige vinkler er altid lig med 180eller.

Summen af ​​siderne

Summen af ​​foranstaltningerne af to sider skal altid være større end målen på den tredje side, a + b> c.

Inkonsekvente sider

Alle sider af scalene triangler har forskellige mål eller længder; det vil sige, de er uoverensstemmende.

Inkonsekvente vinkler

Da alle sider af scalene trekant er forskellige, vil deres vinkler også være forskellige. Men summen af ​​vinklerne vil altid lige 180, og i nogle tilfælde en af ​​sine vinkler kan være stump eller lige, mens det i andre alle vinkler er akut.

Højde, median, bisektor og bisector er ikke sammenfaldende

Ligesom enhver trekant har scalene flere segmenter af lige linjer, der komponerer det, såsom: højde, median, bisektor og bisektor.

På grund af sidens særpræg falder ingen af ​​disse linjer i en enkelt trekant i denne type trekant.

Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter er ikke sammenfaldende

Som højde, median bisector halverer og de er repræsenteret ved forskellige linjestykker i en uligesidet trekant mødesteder-orthocenter, og geometriske tyngdepunkt incentro circuncentro-, være placeret på forskellige punkter (uoverensstemmende).

Afhængigt af om trekanten er akut, rektangel eller scalene, har orthocenteret forskellige placeringer:

a. Hvis trekanten er akut, vil orthocenteret være inde i trekanten.

b. Hvis trekanten er et rektangel, falder orthocenteret sammen med kanten af ​​den lige side.

c. Hvis trekanten er stump, vil orthocenteret være på ydersiden af ​​trekanten.

Relative højder

Højderne er i forhold til siderne.

I tilfældet med scalene trekant vil disse højder have forskellige målinger. Hver trekant har tre relative højder og for at beregne dem anvendes Heron formel.

Sådan beregnes omkredsen?

Omkredsen af ​​en polygon beregnes ved summen af ​​siderne.

Som i dette tilfælde har scalene trekant alle sine sider med forskellige mål, dens omkreds vil være:

P = side a + side b + side c.

Sådan beregnes området?

Trianglenes område beregnes altid med samme formel, idet basen multipliceres med højde og divideres med to:

Område = (base * h) ÷ 2

I nogle tilfælde kan højden af ​​den scalene trekant ikke er kendt, men der er en formel, der blev foreslået af matematikeren fiskehejre, til at beregne arealet kende omfanget af de tre sider af en trekant.

hvor:

  • a, b og c, repræsenterer siderne af trekanten.
  • sp, svarer til triangles semiperimeter, det vil sige halvdelen af ​​omkredsen:

sp = (a + b + c) ÷ 2

I det tilfælde hvor kun langt to sider af trekanten, og det dannede mellem disse vinkel er taget, kan det område beregnes ved hjælp af trigonometriske forhold. Så du skal:

Område = (side * h) ÷ 2

Hvor højden (h) er produktet af den ene side ved sinus af den modsatte vinkel. For hver side vil området f.eks. Være:

  • Område = (f * c * sen A) ÷ 2
  • Område = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Område = (a * b * sen C) ÷ 2

Sådan beregnes højden?

Da alle sider af scalentrikken er forskellige, er det ikke muligt at beregne højden med den pythagoriske sætning.

Fra Herons formel, som er baseret på målinger af de tre sider af en trekant, kan området beregnes.

Højden kan ryddes af områdets generelle formel:

Siden er erstattet af måling af siden a, b eller c.

En anden måde at beregne højden på når værdien af ​​en af ​​vinklerne er kendt er at anvende de trigonometriske forhold, hvor højden vil repræsentere et ben af ​​trekanten.

For eksempel, når den modsatte vinkel til højden er kendt, vil den blive bestemt af sinusen:

Sådan beregnes siderne?

Når du har måle på to sider og vinklen modsat disse, er det muligt at bestemme den tredje side ved at anvende cosines sætning.

For eksempel i en trekant AB er højden i forhold til segment AC plottet. På denne måde er trekanten opdelt i to rigtige trekanter.

For at beregne c-siden (segment AB) anvendes den pythagoriske sætning for hver trekant:

  • For den blå trekant skal du:

c2 = h2 + m2

Som m = b - n, er den erstattet:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2 mia + n2.

  • For den lyserøde trekant skal du:

h2 = a2 - n2

Det erstattes i den foregående ligning:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2 mia + n2

c2 = a2 + b2 - 2BN.

At vide, at n = a * cos C, erstattes i den foregående ligning, og værdien af ​​side c opnås:

c2 = a2 + b2 - 2b* til * cos C.

Ved lov af kosiner kan siderne beregnes som:

  • til2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2.* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* til * cos C.

Der er tilfælde, hvor målingerne af siderne af trekanten ikke er kendt, men deres højde og vinklerne, der dannes i hjørnerne. For at bestemme området i disse tilfælde er det nødvendigt at anvende trigonometriske forhold.

Ved at kende vinklen på en af ​​dens hjørner identificeres benene, og det tilsvarende trigonometriske forhold anvendes:

For eksempel vil den katete modsat AB være vinklen C, men støder op til vinkel A. Afhængigt af side svarer til højden eller ben, er den anden side blokerede for at opnå værdien af ​​denne.

uddannelse

Første øvelse

Beregn området og en højde af skalentrekanten ABC, idet man ved, at dens sider er:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

opløsning

Som data gives målinger af de tre sider af scalene trekant.

Fordi du ikke har højdeværdien, kan du bestemme området ved at anvende Heron-formlen.

Først beregnes semiperimeteret:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nu erstattes værdierne i formel Heron:

At kende området kan beregnes den relative højde på side b. Fra den generelle formel, rydde den, har du:

Område = (side * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Anden øvelse

I betragtning af SCALEN-trekant ABC, hvis foranstaltninger er:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Ved vertexet B dannes en vinkel på 50 °. Beregn den relative højde til side c, omkredsen og området af den trekant.

opløsning

I dette tilfælde har du foranstaltninger fra to sider. For at bestemme højden er det nødvendigt at beregne måling af den tredje side.

Da vinklen overfor de givne sider er givet, er det muligt at anvende cosinusloven til bestemmelse af måling af AC-siden (b):

b2 = a2 + c2 - 2.*c * cos B

hvor:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50eller.

Dataene er erstattet:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482.025)

b2 = 367.985

b = √367.985

b = 19,18 m.

Som du allerede har værdien af ​​de tre sider, skal du beregne omkredsen af ​​den trekant:

P = side a + side b + side c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nu er det muligt at bestemme området ved at anvende Heron-formlen, men først skal semipimeteret beregnes:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Målingerne af siderne og semipimeteret erstattes i Heron-formlen:

Endelig kan kendskabet til området beregnes, den relative højde på side c. Fra den generelle formel, rydde den skal du:

Område = (side * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Tredje øvelse

I skalentrekanten ABC måles b på 40 cm, siden c måler 22 cm, og i vinklen A dannes en vinkel på 90eller. Beregn området for den trekant.

opløsning

I dette tilfælde gives målingerne af to sider af scalene-trekant ABC, såvel som den vinkel, der dannes i vertexet A.

For at bestemme området er det ikke nødvendigt at beregne målet for siden a, da der gennem trigonometriske forhold anvendes vinklen til at finde den.

Da den modsatte vinkel på højden er kendt, bestemmes dette af produktet på den ene side og vinklen.

Ved at erstatte formlen i området skal du:

  • Område = (side * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Område = (f * c * sen A) ÷ 2

Areal = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Areal = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Areal = 880 cm2 ÷ 2

Areal = 440 cm2.

referencer

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Teknisk tegning: aktiviteter notesbog.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrier. CR-teknologi, .
  3. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Flad Euklidisk Geometri. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of Geometry Mexico: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Elementær geometri for universitetsstuderende. Cengage Learning.
  8. Harpe, P. d. (2000). Emner i Geometrisk Gruppeteori. University of Chicago Press.