Equilateral trekant funktioner, egenskaber, formler og område

en ligesidet trekant det er en polygon med tre sider, hvor alle er ens; det vil sige, de har samme mål. Til det karakteristiske blev det givet navnet på lige-sidede (lige sider).

Triangler er polygoner betragtes som de enkleste i geometri, fordi de er dannet tre sider, tre vinkler og tre hjørner. I tilfælde af den ligesidede trekant betyder ved at have lige sider, at dens tre vinkler også vil være.

indeks

• 1 Karakteristik af ligesidede trekanter
  • 1.1 lige sider
  • 1.2 Komponenter
• 2 Egenskaber
  • 2.1 Indvendige vinkler
  • 2.2 Eksterne vinkler
  • 2.3 Summen af ​​siderne
  • 2.4 Kongruente sider
  • 2,5 kongruente vinkler
  • 2.6 Bisektoren, medianen og medieteksten er sammenfaldende
  • 2.7 Bisektoren og højden er sammenfaldende
  • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter sammenfaller
• 3 Sådan beregnes omkredsen?
• 4 Sådan beregnes højden?
• 5 Sådan beregnes siderne?
• 6 Sådan beregnes området?
• 7 øvelser
  • 7.1 Første øvelse
  • 7.2 Anden øvelse
  • 7.3 Tredje øvelse
• 8 referencer

Karakteristik af ligesidede trekanter

Lige sider

De ligesidede trekanter er flade og lukkede figurer, der består af tre segmenter af lige linjer. Triangler er klassificeret efter deres egenskaber, i forhold til deres sider og vinkler; den ligesidede blev klassificeret ved hjælp af måling af siderne som en parameter, da disse er nøjagtigt ens, det vil sige de er kongruente.

Den ligesidede trekant er et særligt tilfælde af den ensidige trekant, fordi to af dets sider er kongruente. Derfor er alle ligesidede trekanter ligeledes ensomme, men ikke alle ensidige trekanter vil være ensidige.

På den måde har de ligesidede trekanter de samme egenskaber som en enslig trekant.

Ligesidede trekanter kan også klassificeres ved amplituden indre vinkel som acutángulo ligesidet trekant, der har tre sider og tre indvendige vinkler med den samme foranstaltning. Vinklerne bliver akut, dvs. være mindre end 90^eller.

komponenter

Triangler generelt har flere linjer og punkter, der komponerer det. De er vant til at beregne området, siderne, vinklerne, medianen, bisektoren, vinkelret og højden.

• Medianen: er en linje, der går fra midtpunktet på den ene side og når det modsatte vertex. De tre medianer er enige om et punkt kaldet centroid eller centroid.
• Bisektoren: er en stråle, der deler vinklerne i to hjørner i to vinkler af samme størrelse, det er derfor, det er kendt som symmetriaksen. Den ligesidede trekant har tre symmetriakser.

I den ligesidede trekant trækkes bisektoren fra vinklen af ​​en vinkel til den modsatte side og skærer den ved midtpunktet. Disse samstemmende punkter kaldes incentro.

• Mediatrixen: er et segment vinkelret på siden af ​​trekanten, der stammer i midten af ​​dette. Der er tre medier i en trekant og de er enige om et punkt kaldet circuncentro.
• Højden: er linjen, der går fra vertex til den side der er modsat, og også denne linje er vinkelret på den side. Alle trekanter har tre højder, der falder sammen på et punkt kaldet orthocenter.

egenskaber

Den vigtigste egenskab af ligesidede trekanter, vil det altid være ligebenede trekanter, fordi de ligebenede er dannet af to kongruente ligesidede sider og tre.

På den måde arvede de ligesidede trekanter alle egenskaberne af den ensidige trekant:

Indvendige vinkler

Summen af ​​de indvendige vinkler er altid lig med 180^eller, og da alle dets vinkler er kongruente, vil hver af disse måle 60^eller.

Eksterne vinkler

Summen af ​​de eksterne vinkler vil altid være lig med 360^eller, derfor vil hver ydre vinkel måle 120^eller. Dette skyldes, at de interne og eksterne vinkler er supplerende, dvs. at tilføje dem vil altid være lig med 180^eller.

Summen af ​​siderne

Summen af ​​foranstaltningerne af to sider skal altid være større end måleen på den tredje side, det vil sige a + b> c, hvor a, b og c er målingerne på hver side.

Kongruente sider

Equilaterale trekanter har deres tre sider med samme mål eller længde; det vil sige, de er kongruente. Derfor har vi i det forrige punkt a = b = c.

Kongruente vinkler

Ligesidede trekanter er også kendt som ækviangulære trekanter, fordi deres tre indre vinkler er kongruente med hinanden. Dette skyldes, at alle dets sider også har samme mål.

Bisektoren, medianen og medieteksten er sammenfaldende

Bisektoren deler siden af ​​en trekant i to dele. I de ligesidede trekanter vil den side blive opdelt i to nøjagtigt lige dele, det vil sige trekanten bliver opdelt i to kongruente højre trekanter.

Således falder bisektoren trukket fra en hvilken som helst vinkel af en ligesidet trekant sammen med medianen og bisektoren på den modsatte side af den vinkel.

eksempel:

Den følgende figur viser trekanten ABC med et midtpunkt D, som deler en af ​​sine sider i to segmenter AD og BD.

Når du tegner en linje fra punkt D til det modsatte vertex, får du ved definitionen den median-CD, som er i forhold til vertex C og AB-siden.

Som segmentet CD opdeler trekant ABC i to trekanter lig CDA og CDB, betyder, at der er tale om kongruens vil: sidevinkel side og derfor vil også CD bisector BCD.

Når du tegner cd-segmentet, dividerer du vinklen vinkel i to lige vinkler på 30^eller, vinklen på toppunkt A fortsætter med at måle 60^eller og den lige CD danner en vinkel på 90^eller med hensyn til midtpunktet D.

Segment-CD'en danner vinkler, der har samme mål for trianglerne ADC og BDC, dvs. de er supplerende på en sådan måde, at måling af hver enkelt vil være:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^eller

2 _* Med. (ADC) = 180^eller

Med. (ADC) = 180^eller ÷ 2

Med. (ADC) = 90^eller.

Og det har du også, at cd-segmentet også er AB-sidens bisektor.

Bisektoren og højden er sammenfaldende

Når du trækker bisektoren fra vinklen af ​​en vinkel til midtpunktet på den modsatte side, deler den den ligesidede trekant i to kongruente trekanter.

På en sådan måde dannes en vinkel på 90^eller (Hetero). Dette indikerer, at dette linjesegment er helt vinkelret på den side, og pr. Definition vil linien være højden.

På denne måde falder bisektoren af ​​en hvilken som helst vinkel af en ligesidet trekant sammen med den relative højde på den modsatte side af den vinkel.

Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter sammenfaller

Som højde, medium og bisector halverer repræsenteres både ved det samme segment, i en ligesidet mødesteder af de segmenter,-orthocenter, geometriske tyngdepunkt, incenter og circuncentro- trekant, var i samme punkt:

Sådan beregnes omkredsen?

Omkredsen af ​​en polygon beregnes ved summen af ​​siderne. Da i den foreliggende ligesidige trekant alle sine sider har samme mål, beregnes dens omkreds med følgende formel:

P = 3 _* side.

Sådan beregnes højden?

Da højden er linjen vinkelret på bunden, opdeles den i to lige store dele ved at strække sig til den modsatte vinkel. Således dannes to lige rigtige trekanter.

Højden (h) repræsenterer den modsatte side (a), halvdelen af ​​side AC til den tilstødende side (b) og side BC repræsenterer hypotenusen (c).

Ved hjælp af Pythagoras sætning kan du bestemme værdien af ​​højden:

til² + b²= c²

hvor:

til² = højde (h).

b² = side b / 2.

c² = side a.

At erstatte disse værdier i Pythagoras sætning og rydde højden vi har:

h² + ( l / 2)² = l²

h² +  l²/ 4 = l²

h² = l²  -  l²/ 4

h² = (4_*l² -  l²) / 4

h² =  3_*l²/4

√h² = √ (3_*l²/4)

Hvis vinklen dannet af kongruente sider er kendt, kan højden (repræsenteret af et ben) beregnes ved at anvende de trigonometriske forhold.

Benene hedder modsatte eller tilstødende afhængigt af den vinkel, der tages som reference.

For eksempel vil kateteret h i den foregående figur være modsat for vinklen C, men støder op til vinklen B:

Således kan højden beregnes med:

Sådan beregnes siderne?

Der er tilfælde, hvor målingerne af siderne af trekanten ikke er kendt, men deres højde og vinklerne, der dannes i hjørnerne.

For at bestemme området i disse tilfælde er det nødvendigt at anvende trigonometriske forhold.

Ved at kende vinklen på en af ​​dens hjørner identificeres benene, og det tilsvarende trigonometriske forhold anvendes:

Således vil benet AB være modsat vinklen C, men støder op til vinkel A. Afhængigt side eller svarende til højden ben, er den anden side blokerede for at opnå værdien af ​​dette, vel vidende at i en ligesidet trekant tre sider altid have den samme foranstaltning.

Sådan beregnes området?

Trianglenes område beregnes altid med samme formel, idet basen multipliceres med højde og divideres med to:

Område = (f _* h) ÷ 2

At vide, at højden er givet ved formlen:

uddannelse

Første øvelse

Sidene af en ligesidet trekant ABC måler 20 cm hver. Beregn højden og arealet af den polygon.

opløsning

For at bestemme området for den ligesidede trekant er det nødvendigt at beregne højden ved at vide, at når den tegnes, deler den trekant i to lige rigtige trekanter.

På den måde kan den pythagoriske sætning bruges til at finde den:

til² + b²= c²

hvor:

a = 20/2 = 10 cm.

b = højde.

c = 20 cm.

Dataene i sætningen er erstattet:

10² + b² = 20²

100 cm + b² = 400 cm

b² = (400-100) cm

b² = 300cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Det vil sige, højden på trekanten er lig med 17,32 cm. Nu er det muligt at beregne området for den givne trekant ved at erstatte formlen:

Område = (f _* h) ÷ 2

Areal = (20 cm _* 17,32 cm) ÷ 2

Areal = 346,40 cm² ÷ 2

Areal = 173,20 cm².

En anden enklere måde at løse øvelsen på er at erstatte dataene i områdets direkte formel, hvor værdien af ​​højden også er implicit:

Anden øvelse

I et land med en ligesidet trekantform vil der blive plantet blomster. Hvis omkredsen af ​​dette jord svarer til 450 m, skal du beregne antallet af kvadratmeter, som blomsterne besætter.

opløsning

At vide, at en trekants omkreds svarer til summen af ​​dens tre sider, og da terrænet har form af en lige-sidet trekant, vil de tre sider af denne trekant have samme mål eller længde:

P = side + side + side = 3 _* l

3 _* l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Nu er det kun nødvendigt at beregne højden af ​​den trekant.

Højden opdeler trekanten i to kongruente højre trekanter, hvor en af ​​benene repræsenterer højden og den anden halvdel af basen. Ved Pythagoras sætning kan højden bestemmes:

til² + b²= c²

hvor:

til = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = højde

Dataene i sætningen er erstattet:

(75 m)²+ b² = (150 m)²

5.625 m + b² = 22.500 m

b² = 22.500 m - 5.625 m

b² = 16.875 m

b = √16.875 m

b = 129,90 m.

Så det område, der vil besætte blomsterne, vil være:

Område = b * h ÷ 2

Areal = (150 m _* 129,9 m) ÷ 2

Areal = (19.485 m²) ÷ 2

Areal = 9.742,5 m²

Tredje øvelse

Den ligesidede trekant ABC er divideret med et linjesegment, der går fra dets vertex C til midtpunktet D, der er placeret på den modsatte side (AB). Dette segment måler 62 meter. Beregn området og omkredsen af ​​den ligesidede trekant.

opløsning

At vide, at den ligesidede trekant er divideret med et linjesegment, som svarer til højden, og danner således to kongruente højre trekanter, dette til gengæld opdeler også vinklen af ​​vertex C i to vinkler med samme mål, 30^eller hver enkelt.

Højden danner en vinkel på 90^eller med hensyn til segmentet AB, og vinklen på toppunktet A vil derefter måle 60^eller.

Brug derefter som reference vinklen på 30^eller, højden cd er etableret som et ben støder op til vinklen og BC som hypotenuse.

Fra disse data kan værdien af ​​en af ​​siderne af trekanten bestemmes ved hjælp af trigonometriske forhold:

Som i den ligesidede trekant har alle sider nøjagtig samme mål eller længde, det betyder, at hver side af den lige-sidede trekant ABC er lig med 71,6 meter. At vide, at det er muligt at bestemme dit område:

Område = b * h ÷ 2

Areal = (71,6 m _* 62 m) ÷ 2

Areal = 4,438,6 m² ÷ 2

Areal = 2.219,3 m²

Omkredsen er givet ved summen af ​​dens tre sider:

P = side + side + side = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

referencer

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Teknisk tegning: aktiviteter notesbog.
2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
4. BARBOSA, J. L. (2006). Flad Euklidisk Geometri. SBM. Rio de Janeiro, .
5. Coxford, A. (1971). Geometri En transformationsmetode. USA: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, R. P. (1886). Euclid's Elements of Geometry.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometri og Trigonometri.
8. León Fernández, G. S. (2007). Integreret geometri Metropolitan Technological Institute.
9. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri Pearson Education.