Axiomatiske metodefunktioner, trin, eksempler

den aksiomatisk metode eller også kaldet Axiomatic er en formel, der anvendes af videnskaben hvorved formulerede erklæringer eller udsagn kaldet aksiomer, forbundet med et forhold mellem derivability og er grundlaget for de antagelser eller tilstande i en bestemt ordning.

Denne generelle definition skal indrammes inden for den udvikling, som denne metode har haft gennem historien. For det første er der en gammel metode eller indhold, født i det antikke Grækenland fra Euclid og senere udviklet af Aristoteles.

For det andet, allerede i det nittende århundrede, udseendet af en geometri med aksiomer, der er forskellige fra Euclids. Og endelig, den formelle eller moderne aksiomatiske metode, hvis maksimale eksponent var David Hilbert.

Ud over dens udvikling over tid har denne procedure været grundlaget for den deduktive metode, der anvendes i geometrien og logikken, hvor den stammer fra. Det har også været anvendt i fysik, kemi og biologi.

Og det er endda blevet anvendt til juridisk videnskab, sociologi og politisk økonomi. Men i øjeblikket er dens vigtigste anvendelsesområde matematik og symbolsk logik og nogle grene af fysik som termodynamik, mekanik, blandt andre discipliner.

indeks

• 1 kendetegn 
  • 1.1 Gamle aksiomatiske metode eller indhold 
  • 1.2 Ikke-euklidisk aksiomatisk metode
  • 1.3 Moderne eller formel aksiomatisk metode
• 2 trin 
• 3 eksempler
• 4 referencer

funktioner

Selv om den grundlæggende karakteristika ved denne metode er formuleringen af ​​aksiomer, har disse ikke altid været betragtet på samme måde.

Der er nogle der kan defineres og konstrueres på en vilkårlig måde. Og andre, ifølge en model, hvor dens intuitivt garanterede sandhed overvejes.

For at forstå specifikt hvad denne forskel består af og dens konsekvenser, er det nødvendigt at gennemgå udviklingen af ​​denne metode.

Gamle aksiomatiske metode eller indhold 

Den er etableret i det antikke Grækenland omkring det 5. århundrede f.Kr. Dens anvendelsesområde er geometri. Det grundlæggende arbejde i denne fase er Euclides elementer, selvom det antages, at for ham, Pythagoras, allerede havde født den aksiomatiske metode.

Således tager grækerne visse fakta som aksiomer uden at kræve noget logisk bevis, det vil sige uden behov for demonstration, da de for dem er en selvfølgelig sandhed.

Euclides for sin del præsenterer fem aksiomer for geometri:

1-Gives to punkter er der en linje, der indeholder eller forbinder dem.

2-Alle segmenter kan fortsættes kontinuerligt på en ubegrænset linje på begge sider.

3-Du kan tegne en cirkel, der har et center på et hvilket som helst punkt og en hvilken som helst radius.

4-lige vinkler er alle de samme.

5 - Når der er en lige linje og et punkt, der ikke er i det, er der en lige linje parallelt med den, og den indeholder det punkt. Dette aksiom er senere kendt som aksiom af parallellerne og er også blevet udtalt som: ved et punkt udenfor kan en linje trækkes en enkelt parallel.

Men både Euklid og senere matematikere enige om, at den femte aksiom er ikke så intuitivt klart som de andre 4. Selv under renæssancen forsøger at udlede den femte af de andre 4, men det er ikke muligt.

Dette gjorde i det nittende århundrede, der fastholdt de fem var tilhængere af euklidisk geometri og dem, der benægtede den femte, hvem skabte de ikke-Euklidiske geometrier.

Ikke-euklidisk aksiomatisk metode

Det er netop Nikolai Ivanovich Lobachevsky, Bolyai János og Johann Karl Friedrich Gauss, der ser muligheden for bygningen, uden modsigelse, en geometri, der kommer fra andre end de aksiomer af Euclid-systemer. Dette ødelægger troen på aksiomernes absolutte eller a priori-sandhed og de teorier, der hidrører fra dem.

Derfor begynder aksiomerne at blive udtænkt som udgangspunkt for en given teori. Også deres valg og deres gyldighedsproblem på en eller anden måde begynder at forholde sig til fakta uden for den aksiomatiske teori.

På denne måde vises geometriske, algebraiske og aritmetiske teorier konstrueret ved hjælp af den aksiomatiske metode.

Dette stadium kulminerer med oprettelsen af ​​aksiomatiske systemer til aritmetik som Giuseppe Peano i 1891; David Hubert's geometri i 1899; de udsagn og prædikatberegninger af Alfred North Whitehead og Bertrand Russell i England i 1910; den axiomatiske teori om sætene Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo i 1908.

Moderne eller formel aksiomatisk metode

Det er David Hubert som initierer forestillingen om en formel aksiomatisk metode, og det fører til kulminationen, David Hilbert.

Det er netop Hilbert, der formaliserer det videnskabelige sprog, i betragtning af dets udsagn som formler eller sekvenser af tegn, der ikke har nogen mening i sig selv. De erhverver kun mening i en bestemt fortolkning.

I "Det grundlæggende i geometri"Forklarer det første eksempel på denne metode. Herfra bliver geometrien en videnskab af rene logiske konsekvenser, som udvindes fra et system af hypoteser eller aksiomer, bedre formuleret end det euklidiske system.

Dette skyldes, at i den gamle system er den aksiomatiske teori baseret på beviser for aksiomerne. Mens fundamentet for formel teori er givet ved demonstrationen af ​​dets modsætninger mod dets aksiomer.

trin

Den procedure, der udfører en aksiomatisk strukturering inden for de videnskabelige teorier, erkender:

a-valget af et bestemt antal aksiomer, det vil sige en række forslag om en bestemt teori, der accepteres uden at skulle demonstreres.

b-de begreber, der er en del af disse propositioner, er ikke bestemt inden for rammerne af den givne teori.

c-reglerne for definition og fradrag af den givne teori fastlægges og giver mulighed for at introducere nye begreber inden for teorien og logisk udlede nogle forslag fra andre.

d-teoriens andre propositioner, det vil sige sætningen, er udledt af a på grundlag af c.

eksempler

Denne metode kan verificeres ved demonstration af de to mest kendte Euclid-sætninger: benets sætning og højde sætningen..

Begge hidrører fra observationen af ​​denne græske geometer, at når højden er tegnet med hensyn til hypotenusen i en rigtig trekant, vises to trekanter mere end originalen. Disse trekanter ligner hinanden og ligner samtidig oprindelsestrekanten. Dette antager, at deres respektive homologe sider er proportionale.

Det kan ses, at de kongruente vinkler i trekanterne på denne måde verificerer den lighed, der eksisterer mellem de tre trekanter, der er involveret i henhold til AAA-lighedskriteriet. Dette kriterium fastholder, at når to trekanter har alle deres lige vinkler, er de ens.

Når trianglerne er vist at være ens, kan de proportioner, der er angivet i den første sætning, etableres. Det hedder, at i en ret trekant er måling af hvert katetus et geometrisk proportional middel mellem hypotenusen og fremspringet af kateteret i den..

Den anden sætning er højden. Det præciseres, at enhver retvinklet trekant, der er udfærdiget ifølge hypotenusen er den geometriske middelværdi proportional mellem segmenter bestemmes af en sådan geometrisk gennemsnit på hypotenusen.

Selvfølgelig har begge sætninger mange anvendelser over hele verden, ikke kun inden for uddannelse, men også i teknik, fysik, kemi og astronomi.

referencer

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalisme og intuition: David Hilbert og den formelle aksiomatiske metode (1895-1905). Filosofi Magazine, Vol. 39 Núm. 2, s. 121-146. Taget fra revistas.ucm.es.
2. Hilbert, david (1918) Axiomatisk tanke. I W.Ewald, redaktør, fra Kant til Hilbert: en kildebog i matematikens fundament. Bind II, s. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Hvad er den aksiomatiske metode? Synthese, november 2011, volumen 189, s. 69-85. Modtaget fra link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Introduktion til den moderne lovfilosofi. (Pp.48-49). Taget fra books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Den aksiomatiske metode, ved læsning af Ricardo Nirenberg, efterår 1996, University of Albany, Project Renaissance. Taget fra albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert mellem den formelle og den uformelle side af matematik. Manuskript vol. 38 nr. 2, Campinas juli / august 2015. hentet fra scielo.br.