Fordeling af diskrete sandsynlighedskarakteristika og øvelser

den Diskrete sandsynlighedsfordelinger er en funktion, der til hvert element i X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., hvor X er en diskret stokastisk variabel givet, og S er udfaldsrummet, er sandsynligheden for, at begivenheden er indtruffet. Denne funktion f af X (S) defineret som f (xi) = P (X = xi) kaldes nogle gange sandsynlighedsmassefunktionen.

Denne sandsynlighedsmasse er sædvanligvis repræsenteret som et bord. Da X er en diskret tilfældig variabel, har X (S) et begrænset antal begivenheder eller en tællelig uendelighed. Blandt de mest almindelige diskrete sandsynlighedsfordelinger har vi den ensartede fordeling, binomialfordelingen og Poisson-distributionen.

indeks

• 1 kendetegn
• 2 typer
  • 2.1 Ensartet fordeling over n point
  • 2.2 Binomialfordeling
  • 2.3 Poissonfordeling
  • 2.4 Hypergeometrisk fordeling
• 3 øvelser løst
  • 3.1 Første øvelse
  • 3.2 Anden øvelse
  • 3.3 Tredje øvelse
  • 3.4 Tredje øvelse
• 4 referencer

funktioner

Sandsynlighedsfordelingsfunktionen skal opfylde følgende betingelser:

Også, hvis X kun et endeligt antal værdier (f.eks x1, x2, ..., xn), så er p (xi) = 0, hvis i> n, og derfor den uendelige serie af tilstand B bliver en endelig serie.

Denne funktion opfylder også følgende egenskaber:

Lad B være en begivenhed i forbindelse med den tilfældige variabel X. Det betyder, at B er indeholdt i X (S). Antag specifikt, at B = xi1, xi2, .... Derfor:

Med andre ord: sandsynligheden for en begivenhed B er lig med summen af ​​sandsynlighederne for de enkelte resultater forbundet med B.

Herfra kan vi konkludere, at hvis a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

typen

Ensartet fordeling over n point

Det siges, at en tilfældig variabel X følger en fordeling, der er karakteriseret ved at være ensartet i n point, hvis hver værdi er tildelt samme sandsynlighed. Dens sandsynlighedsmassefunktion er:

Lad os antage, at vi har et eksperiment, der har to mulige resultater, det kan være at kaste en mønt, hvis mulige resultater er ansigt eller frimærke eller valget af et helt tal, hvis resultat kan være et lige antal eller et ulige tal; Denne type forsøg er kendt som Bernoullis test.

Generelt kaldes de to mulige resultater succes og fiasko, hvor p er sandsynligheden for succes og 1-p for fejl. Vi kan bestemme sandsynligheden for x-succeser i n Bernoulli-test, som er uafhængige af hinanden med følgende fordeling.

Binomial distribution

Det er den funktion, der repræsenterer sandsynligheden for at opnå x succeser i n uafhængige Bernoulli test, hvis sandsynlighed for succes er p. Dens sandsynlighedsmassefunktion er:

Den følgende graf repræsenterer funktionsmassen af ​​sandsynligheden for forskellige værdier af parametrene for binomialfordelingen.

Følgende fordeling skylder sit navn til den franske matematiker Simeon Poisson (1781-1840), som fik det som grænsen for binomialfordelingen..

Poisson distribution

Det siges, at en tilfældig variabel X har en Poissonfordeling af parameter λ, når den kan tage de positive heltalværdier 0,1,2,3, ... med følgende sandsynlighed:

I dette udtryk er λ det gennemsnitlige antal, der svarer til begivenhederne for begivenheden for hver tidsenhed, og x er antallet af gange begivenheden indtræffer.

Dens sandsynlighedsmassefunktion er:

Dernæst en graf, der repræsenterer sandsynlighedsmassefunktionen for forskellige værdier af parametrene i Poisson-distributionen.

Bemærk, at så længe antallet af succeser er lavt og antallet n af tests udført i en binomialfordeling er høj, kan vi altid tilnærme disse distributioner, da Poisson-fordeling er grænsen for binomialfordelingen..

Hovedforskellen mellem disse to fordelinger er, at mens binomialet afhænger af to parametre - nemlig n og p -, afhænger Poisson kun af λ, som undertiden kaldes intensiteten af ​​fordelingen.

Hidtil har vi kun talt om sandsynlighedsfordeling for tilfælde, hvor de forskellige eksperimenter er uafhængige af hinanden; det vil sige, når resultatet af en ikke påvirkes af et andet resultat.

Når der er tale om at have eksperimenter, der ikke er uafhængige, forekommer den hypergeometriske fordeling meget nyttig.

Hypergeometrisk fordeling

Lad N være det samlede antal objekter af et begrænset sæt, hvoraf vi kan identificere k af disse på en eller anden måde og danne en delmængde K, hvis komplement er dannet af de resterende N-k-elementer.

Hvis vi tilfældigt vælger n objekter, vil den tilfældige variabel X, der repræsenterer antallet af objekter, der tilhører K i dette valg, have en hypergeometrisk fordeling af parametrene N, n og k. Dens sandsynlighedsmassefunktion er:

Den følgende graf repræsenterer funktionsmassen af ​​sandsynligheden for forskellige værdier af parametrene for den hypergeometriske fordeling.

Løste øvelser

Første øvelse

Antag at sandsynligheden for, at et radiobånd (sat i en bestemt type udstyr) virker i mere end 500 timer, er 0,2. Hvis 20 rør er testet, hvad er sandsynligheden for, at nøjagtigt k af disse vil fungere mere end 500 timer, k = 0, 1,2, ..., 20?

opløsning

Hvis X er antallet af rør, der arbejder mere end 500 timer, antager vi, at X har en binomialfordeling. derefter

Og så:

For k≥11 er sandsynlighederne mindre end 0,001

Så vi kan se, hvordan sandsynligheden for at disse k arbejder mere end 500 timer går op, indtil den når sin maksimumsværdi (med k = 4) og så begynder at falde.

Anden øvelse

En mønt kastes 6 gange. Når resultatet er dyrt, vil vi sige, at det er en succes. Hvad er sandsynligheden for at to ansigter kommer ud præcist?

opløsning

For denne sag har vi det n = 6 og begge sandsynligheden for succes og fiasko er p = q = 1/2

Derfor er sandsynligheden for at to ansigter er givet (dvs. k = 2) af

Tredje øvelse

Hvad er sandsynligheden for at finde mindst fire ansigter?

opløsning

For denne sag har vi det k = 4, 5 eller 6

Tredje øvelse

Lad os antage, at 2% af artiklerne produceret i en fabrik er defekte. Find sandsynligheden P, at der er tre defekte elementer i en prøve på 100 poster.

opløsning

I denne sag kunne vi anvende binomialfordeling for n = 100 og p = 0,02, hvilket resulterede i:

Men da p er lille bruger vi Poisson-tilnærmelsen med λ = np = 2. så,

referencer

1. Kai Lai Chung Elementær Problemer Theory med Stokastiske Processer. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematik og dens applikationer. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Sandsynlighed og statistiske applikationer. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskret matematik Løst Problemer. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori og Problemer med Problemer. McGraw-Hill.