Syntetisk Division Metode og Løste Øvelser

den syntetisk division Det er en enkel måde at dele et polynomium P (x) et hvilket som helst af form af d (x) = x - c. Det er et meget nyttigt værktøj, fordi, udover at tillade os at opdele polynomier, også giver mulighed for at vurdere en P (x) polynomium i et vilkårligt antal c, som igen fortæller os præcist, hvis antallet er nul eller ikke polynomiet.

Takket være divisionalgoritmen ved vi, at hvis vi har to polynomier P (x) og d (x) ikke konstant, der er polynomier q (x) og r (x) unikt, så det er sandt, at P (x) = q (x) d (x) + r (x), hvor r (x) er nul eller er mindre end q (x). Disse polynomier er kendt som kvotient og rest eller hvile henholdsvis.

I tilfælde, hvor polynomiet d (x) er af formen c x-, syntetisk division giver en kort måde at finde der er q (x) og r (x).

indeks

• 1 Syntetisk divisionsmetode
• 2 øvelser løst
  • 2.1 Eksempel 1
  • 2.2 Eksempel 2
  • 2.3 Eksempel 3
  • 2.4 Eksempel 4
• 3 referencer

Syntetisk delingsmetode

Lad P (x) = a_nxⁿ+til_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ det polynomiske vi vil dele og d (x) = x-c divisoren. At dividere ved den syntetiske division metode går vi videre som følger:

1- Vi skriver koefficienterne for P (x) i første række. Hvis nogen strøm af X ikke vises, sætter vi nul som dens koefficient.

2- I den anden række til venstre for a_n placere c og tegne delelinier som vist i følgende figur:

3- Vi sænker den førende koefficient til tredje række.

I dette udtryk b_n-1= a_n

4- Vi multiplicerer c med den førende koefficient b_n-1 og resultatet er skrevet i anden række, men en kolonne til højre.

5- Vi tilføjer kolonnen, hvor vi skrev det forrige resultat og resultatet vi sætter det under den sum det vil sige i samme kolonne tredje række.

Ved at tilføje, har vi som følge heraf_n-1+c * b_n-1, som for nemheds skyld vil vi ringe b_n-2

6- Vi multiplicerer c ved det foregående resultat og skriver resultatet til højre i anden række.

7- Vi gentager trin 5 og 6, indtil vi når koefficienten a₀.

8- Skriv svaret; det vil sige kvotienten og resten. Da vi udfører opdelingen af ​​et polynom af grad n mellem et polynom af grad 1, har vi det seriøse kvotient af grad n-1.

Koefficienterne for kvotientpolynomet vil være tallet i den tredje række undtagen det sidste, som vil være det resterende polynom eller resten af ​​divisionen.

Løste øvelser

Eksempel 1

Udfør følgende opdeling ved hjælp af den syntetiske delingsmetode:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

opløsning

Først skriver vi udbyttekoefficienterne som følger:

Så skriver vi c på venstre side, i den anden række sammen med delelinierne. I dette eksempel c = -1.

Vi sænker den førende koefficient (i dette tilfælde b_n-1 = 1) og formere den med -1:

Vi skriver dit resultat til højre i anden række, som vist nedenfor:

Vi tilføjer tallene i anden kolonne:

Vi multiplicerer 2 med -1 og skriver resultatet i tredje kolonne, anden række:

Vi tilføjer i tredje kolonne:

Vi fortsætter analogt, indtil vi når den sidste kolonne:

Således har vi, at det sidst opnåede nummer er resten af ​​divisionen, og de resterende tal er koefficienterne for kvotientpolynomet. Dette er skrevet som følger:

Hvis vi vil bekræfte, at resultatet er korrekt, er det nok at verificere, at følgende ligning er opfyldt:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Så vi kan kontrollere, at det opnåede resultat er korrekt.

Eksempel 2

Udfør den næste deling af polynomer ved hjælp af den syntetiske delingsmetode

(7x³-x + 2): (x + 2)

opløsning

I dette tilfælde har vi udtrykket x² det vises ikke, så vi vil skrive 0 som dens koefficient. Så ville polynomet være som 7x³+0x²-x + 2.

Vi skriver deres koefficienter i træk, det er:

Vi skriver værdien af ​​C = -2 til venstre i anden række og tegner delelinierne.

Vi sænker den førende koefficient b_n-1 = 7 og vi multiplicerer den med -2, skriver resultatet i anden række til højre.

Vi tilføjer og fortsætter som tidligere forklaret, indtil vi når sidste sigt:

I dette tilfælde er resten r (x) = - 52, og den opnåede kvote er q (x) = 7x²-14x + 27.

Eksempel 3

En anden måde at bruge syntetisk division på er følgende: formoder, at vi har et polynom P (x) i grad n, og vi vil vide, hvad der er værdi, når vi vurderer det i x = c.

Ved divisionens algoritme har vi, at vi kan skrive polynomet P (x) på følgende måde:

I dette udtryk er q (x) og r (x) kvotienten og resten. Nu, hvis d (x) = x- c, når vi vurderer i c i polynomet finder vi følgende:

Til dette behøver vi kun at finde r (x), og det vi kan gøre takket være den syntetiske division.

For eksempel har vi polynomet P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37x-37, og vi vil gerne vide, hvad der er dets værdi, når vi vurderer det i x = 5. For dette gennemfører vi opdelingen mellem P (x) og d (x) = x -5 ved den syntetiske division metode:

Når operationerne er færdige, ved vi, at vi kan skrive P (x) på følgende måde:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Når vi vurderer det, skal vi derfor:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Som vi kan se, er det muligt at anvende syntetisk division for at finde værdien af ​​et polynom, når det vurderes i c i stedet for blot at erstatte c med x. 

Hvis vi forsøgte at evaluere P (5) på den traditionelle måde, ville vi skulle udføre nogle beregninger, der har tendens til at blive kedelige.

Eksempel 4

Opdelingen algoritme til polynomier gælder også for polynomier med komplekse koefficienter, og derfor har den syntetiske division metoden fungerer også for disse polynomier. Her ser vi et eksempel.

Vi vil bruge den syntetiske delingsmetode til at vise, at z = 1+ 2i er et nul i polynomet P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); det vil sige resten af ​​divisionen P (x) mellem d (x) = x - z er lig med nul.

Vi fortsætter som før: I første række skriver vi koefficienterne for P (x), så i det andet skriver vi z og tegner delelinierne.

Vi gjorde divisionen som før; dette er:

Vi kan se, at rest er nul; derfor konkluderer vi, at z = 1+ 2i er et nul på P (x).

referencer

1. Baldor Aurelio. Algebra. Patria Editorial Group.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafik, numerisk, algebraisk 7. Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra og Trigonometri med Analytisk Geometri. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. precalculus 4. udgave. Pearson Education.
5. Rød. Armando O. Algebra 1 6. udgave. Athenæumet.