Lineær interpolationsmetode, opløste øvelser

den lineær interpolation er en metode der stammer fra den generelle interpolation af Newton og giver mulighed for ved bestemmelse at bestemme en ukendt værdi, der ligger mellem to givne tal; det vil sige, at der er en mellemværdi. Det anvendes også til tilnærmelse af funktioner, hvor værdierne f_(A) og f_(B) de er kendt, og du vil gerne vide mellemproduktet af f_(X).

Der er forskellige typer interpolation, såsom lineære, kvadratiske, kubiske og højere karakterer, den simpleste er den lineære tilnærmelse. Den pris, der skal betales med lineær interpolation, er, at resultatet ikke vil være lige så præcist som ved tilnærmelser ved funktioner af højere karakterer.

indeks

• 1 Definition
• 2 metode
• 3 øvelser løst
  • 3.1 Øvelse 1
  • 3.2 Øvelse 2
• 4 referencer

definition

Lineær interpolering er en proces, der giver dig mulighed for at udlede en værdi mellem to veldefinerede værdier, som kan være i et bord eller i en lineær graf.

For eksempel, hvis det er kendt, at 3 liter Lechen værd $ 4 og $ 5 liter værd 7, men ønsker at vide, hvad værdien af ​​4 liter mælk, interpoleres til at bestemme den mellemliggende værdi.

fremgangsmåde

For at estimere en mellemværdi af en funktion er funktionen f tilnærmet_(X) ved hjælp af en ret linje r_(X), hvilket betyder, at funktionen varierer lineært med "x" for en strækning "x = a" og "x = b"; det vil sige for en "x" -værdi i intervallet (x₀, x₁) og (og₀, og₁), er værdien af ​​"y" givet ved linjen mellem punkterne og udtrykkes af følgende relation:

(og - og₀) ÷ (x - x₀) = (og₁ - og₀) ÷ (x₁ - x₀)

For at en interpolation skal være lineær, er det nødvendigt, at interpolationspolynomet er af grad en (n = 1), således at det justerer sig til værdierne af x₀ og x_1.

Lineær interpolation er baseret på ligheden mellem trekanter, således at geometrisk udlede ovenstående udtryk kan man opnå værdien af ​​"y", som repræsenterer den ukendte værdi for "x".

På den måde skal du:

a = tan = = (modsat side₁ ÷ tilstødende ben₁) = (modsat side₂ ÷ tilstødende ben₂)

Udtrykt på en anden måde er det:

(og - og₀) ÷ (x - x₀) = (og₁ - og₀) ÷ (x₁ - x₀)

Rydning "og" af udtrykkene har du:

(og - og₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (og₁ - og₀)

(og - og₀) = (og₁ - og₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Således opnår vi den generelle ligning for lineær interpolation:

y = y_{0 +} (og₁ - og₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Generelt giver lineær interpolering en lille fejl over den reelle værdi af den sande funktion, selv om fejlen er minimal sammenlignet med, hvis du intuitivt vælger et nummer tæt på det, du vil finde.

Denne fejl opstår, når du forsøger at tilnærme værdien af ​​en kurve med en lige linje; for disse tilfælde skal intervallets størrelse reduceres for at gøre tilnærmelsen mere præcis.

For bedre resultater med hensyn til tilgangen er det tilrådeligt at anvende klasse 2, 3 eller endog højere klasse funktioner til at udføre interpolationen. For disse tilfælde er Taylors sætning et meget nyttigt værktøj.

Løste øvelser

Øvelse 1

Antallet af bakterier pr. Enhedsvolumen, der findes i en inkubation efter x timer, fremgår af nedenstående tabel. Du vil vide, hvad der er mængden af ​​bakterier for tiden på 3,5 timer.

opløsning

Referencetabellen fastlægger ikke en værdi, der angiver mængden af ​​bakterier i en tid på 3,5 timer, men har højere og lavere værdier svarende til en tid på henholdsvis 3 og 4 timer. På den måde:

x₀ = 3 og₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 og₁ = 135

Nu anvendes den matematiske ligning for at finde den interpolerede værdi, som er følgende:

y = y_{0 +} (og₁ - og₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Derefter erstattes de tilsvarende værdier:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5-3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113.

Det er således opnået, at mængden af ​​bakterier i en periode på 3,5 timer er 113, hvilket repræsenterer et mellemniveau mellem mængden af ​​bakterier, der eksisterer i tiden 3 og 4 timer.

Øvelse 2

Luis har en isfabrik, og han vil gerne lave en undersøgelse for at bestemme den indkomst han havde i august af de udførte omkostninger. Selskabets leder laver en graf, der udtrykker dette forhold, men Luis vil vide:

Hvad er indtægten for august, hvis en udgift på $ 55.000 blev lavet??

opløsning

En graf er angivet med værdier af indkomst og omkostninger. Luis ønsker at vide, hvad august indtægten er, hvis fabrikken havde en omkostning på $ 55.000. Denne værdi afspejles ikke direkte i grafen, men værdierne højere og lavere end dette er.

Først laves der et bord, hvor man nemt kan relatere værdierne:

Nu anvendes interpolationsformlen til at bestemme værdien af ​​y

y = y_{0 +} (og₁ - og₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Derefter erstattes de tilsvarende værdier:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) _* [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = $ 68.936.

Hvis en udgift på $ 55.000 blev foretaget i august, var indkomsten $ 68.936.

referencer

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. Harpe, P. d. (2000). Emner i Geometrisk Gruppeteori. University of Chicago Press.
3. Hazewinkel, M. (2001). Lineær interpolation ", Encyclopedia of Mathematics.
4. , J. M. (1998). Elementer af numeriske metoder til Engineering. UASLP.
5. , E. (2002). En kronologisk kronologisk interpolation: Fra gammel astronomi til moderne signal og billedbehandling. Forhandlingerne i IEEE.
6. numerisk, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.