Morgans love



LMorgan's øjne de er regler for inference anvendt i propositionel logik, som fastslår, hvad der er resultatet af at nægte en disjunction og en sammenhæng af propositioner eller propositionelle variabler. Disse love blev defineret af matematikeren Augustus De Morgan.

Morgan's love er et meget nyttigt redskab til at vise gyldigheden af ​​en matematisk ræsonnement. Senere blev de generaliseret inden for begrebet sæt af matematikeren George Boole.

Denne generalisering foretaget af Boole er helt ækvivalent med Morgan's oprindelige love, men den er udviklet specifikt til sæt snarere end for propositioner. Denne generalisering er også kendt som Morgan's love.

indeks

  • 1 Anmeldelse af propositionel logik
    • 1.1 Fallacy
    • 1.2 Forslag
  • 2 Morgens love
    • 2.1 Demonstration
  • 3 sæt
    • 3.1 Union, skæringspunkt og komplementer af sæt
  • 4 Morgans love for sæt
  • 5 referencer

Gennemgang af propositionel logik

Før man ser på, hvad Morgan's love er specifikt, og hvordan de bruges, er det praktisk at huske nogle grundlæggende forestillinger om propositionel logik. (For mere detaljer se den propositionelle logiske artikel).

Inden for matematisk (eller propositionel) logik er en konklusion en konklusion, der udsendes fra et sæt lokaler eller hypoteser. Denne konklusion, sammen med de nævnte lokaler, giver anledning til det såkaldte matematiske ræsonnement.

Denne begrundelse skal kunne demonstreres eller nægtes; det vil sige, at ikke alle konklusioner eller konklusioner i en matematisk begrundelse er gyldige.

fejlslutning

En falsk indledning udsendt fra visse antagelser, der antages at være sande, er kendt som en fejltagelse. Faldene har egenskaben af ​​at være argumenter, der synes korrekt, men matematisk er de ikke.

Propositional Logic har ansvaret for netop udvikling og tilvejebringelse af metoder, hvormed man uden tvetydighed kan validere eller afvise en matematisk begrundelse; det vil sige en gyldig konklusion fra lokaler. Disse metoder kaldes regler for indledning, hvoraf Morgans love er en del.

udsagn

De væsentlige elementer i propositionel logik er propositioner. Forslag er udtalelser om, hvem der kan sige, om de er gyldige eller ej, men at de ikke kan være sande eller falske på samme tid. Der bør ikke være tvetydighed i denne sag.

Og tallene kan kombineres gennem driften af ​​addition, subtraktion, multiplikation og division, kan udsagn betjenes ved hjælp af kendte connectives (eller stik) logisk: negation (¬, "nej"), disjunktion (V "o"), sammenholdt (ʌ "og"), betinget (→ "hvis ... så ...") og Biconditional (↔ "hvis og kun hvis").

At arbejde mere generelt, stedet for at overveje specifikke forslag anses propositional variabler, der repræsenterer eventuelle udsagn, og generelt betegnet med små bogstaver p, q, r, s, etc..

En propositionel formel er en kombination af propositionelle variabler gennem nogle af de logiske bindemidler. Det er med andre ord en sammensætning af propositionelle variabler. De betegnes sædvanligvis med græske bogstaver.

Det siges, at en propositionel formel logisk indebærer en anden, når sidstnævnte er sandt, hver gang den første er sand. Dette betegnes af:

Når den logiske implikation mellem to propositional formler -Det er gensidig, når den ovennævnte konsekvenser gælder også i den modsatte forstand sagde formler er logisk ækvivalente, og er angivet ved

Den logiske ækvivalens er en form for lighed mellem propositionelle formler og giver mulighed for at erstatte den ene til den anden, når det er nødvendigt.

Morgans love

Morgan's love består af to logiske ækvivalenser mellem to propositionelle former, nemlig:

Disse love tillader at adskille negationen af ​​en disjunction eller conjunction som negationer af de involverede variabler.

Den første kan læses som følger: Negationen af ​​en disjunction er lig med sammenhængen i negationerne. Og den anden læses som dette: Negationen af ​​en sammenhæng er disjunktionen af ​​negationerne.

Med andre ord, at nægte disjunction af to propositionelle variabler svarer til sammenhængen mellem negativerne af begge variabler. På samme måde svarer til sammenkoblingen af ​​to propositionelle variabler til disjunktionen af ​​negativerne af begge variabler.

Som tidligere nævnt hjælper substitutionen af ​​denne logiske ækvivalens med at demonstrere vigtige resultater sammen med de øvrige eksisterende regler for indledning. Med disse kan du forenkle mange propositionelle formler, så de er mere nyttige til at arbejde.

Følgende er et eksempel på et matematisk bevis, der anvender regler for indledning, blandt disse Morgans love. Specifikt er det vist, at formlen:

svarer til:

Sidstnævnte er enklere at forstå og udvikle.

show

Det er værd at nævne, at gyldigheden af ​​Morgan's love kan demonstreres matematisk. En måde er at sammenligne dine sandtabeller.

sæt

De samme regler for inference og begreberne logik anvendt på propositioner, kan også udvikles i betragtning af sæt. Dette er det, der kaldes boolsk algebra, efter matematikeren George Boole.

For at differentiere sagerne er det nødvendigt at ændre notationen og overføre til sæt, alle de forestillinger, der allerede er set i den propositionelle logik.

Et sæt er en samling af objekter. Sættene er angivet med store bogstaver A, B, C, X, ... og de elementer i et sæt betegnes med små bogstaver a, b, c, x, etc. Når et element a tilhører et sæt X, betegnes det af:

Når det ikke tilhører X, er notationen:

Vejen til at repræsentere sætene er at placere deres elementer inde i nøglerne. For eksempel er sæt af naturlige tal repræsenteret af:

Sæt kan også være repræsenteret uden at skrive en eksplicit liste over deres elementer. De kan udtrykkes i formularen :. De to punkter læses "sådan det". En variabel, der repræsenterer elementerne i sættet, er placeret til venstre for de to punkter, og ejendommen eller tilstanden de opfylder er placeret på højre side. Dette er:

For eksempel kan sætet af heltal større end -4 udtrykkes som:

Eller tilsvarende, og forkortet som:

Tilsvarende repræsenterer følgende udtryk sætene med lige og ulige tal:

Union, skæringspunkt og komplementer af sæt

Dernæst vil vi se analogerne af det logiske bånd i tilfælde af sæt, som er en del af de grundlæggende operationer mellem sæt.

Union og skæringspunkt

Foreningen og skæringspunktet af sæt er henholdsvis defineret på følgende måde:

For eksempel overvej sætene:

Derefter skal du:

supplement

Komplementet af et sæt er dannet af de elementer, der ikke tilhører det sæt (af samme type som originalen repræsenterer). Komplementet til et sæt A er betegnet af:

For eksempel inden for de naturlige tal er komplementet af sæt af lige tal tallene for de ulige tal og omvendt.

For at bestemme komplementet af et sæt skal det være klart fra begyndelsen det universelle eller vigtigste sæt elementer, der overvejes. For eksempel er det ikke lig med at overveje komplementet af et sæt på de naturlige tal på de rationelle.

Nedenstående tabel viser den relation eller analogi der eksisterer mellem operationerne på tidligere definerede sæt og de forbindende i den propositionelle logik:

Morgans love for sæt

Endelig er Morgans love om sæt:

I ord: komplementet til en union er skæringspunktet for komplementerne, og komplementet af et kryds er sammenslutningen af ​​komplementerne.

Et matematisk bevis på den første ligestilling ville være følgende:

Demonstrationen af ​​den anden er analog.

referencer

  1. Almaguer, G. (2002). Matematik 1. Editorial Limusa.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Logik, sæt og tal. Mérida - Venezuela: Publikationsrådet, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. & Soto, A. (1998). Introduktion til talteori. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Grundkursus i talteori. University of the North.
  5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Sådan udvikler du matematisk logisk begrundelse. University Editorial.
  6. Guevara, M. H. (s.f.). Teorien om tallene. EUNED.
  7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teori af tal. Editorial Vision Books.