Vector Algebra Basics, Magnitudes, Vectors



den vektor algebra er en gren af ​​matematik, der er ansvarlig for at studere systemer af lineære ligninger, vektorer, matricer, vektorrum og deres lineære transformationer. Det er relateret til områder som engineering, løsning af differentialekvationer, funktionel analyse, operationsforskning, computergrafik, blandt andre..

Et andet område, der har vedtaget den lineære algebra, er fysik, fordi der gennem dette er blevet udviklet til at studere fysiske fænomener, der beskriver dem ved brug af vektorer. Dette har muliggjort en bedre forståelse af universet.

indeks

  • 1 Fundamentals
    • 1.1 Geometrisk
    • 1.2 Analytisk
    • 1.3 Axiomatisk
  • 2 størrelser
    • 2.1 Skalær størrelse
    • 2.2 Vektorstørrelse
  • 3 Hvad er vektorer?
    • 3.1 Modul
    • 3.2 Adresse
    • 3.3 Sense
  • 4 Klassificering af vektorer
    • 4.1 Fast vektor
    • 4.2 Gratis vektor
    • 4.3 Glidende vektor
  • 5 Egenskaber af vektorer
    • 5.1 equipolentes Vectors
    • 5.2 ækvivalente vektorer
    • 5.3 Equalitet af vektorer
    • 5.4 Modsatte Vektorer
    • 5,5 enhedsvektor
    • 5.6 Null Vector
  • 6 Komponenter af en vektor
    • 6.1 Eksempler
  • 7 Operationer med vektorer
    • 7.1 Tilsætning og subtraktion af vektorer
    • 7.2 Multiplikation af vektorer
  • 8 referencer

fundamenter

Vektor algebra stammer fra studiet af quaternions (forlængelse af reelle tal) 1, i, j, k, samt kartesiske geometri fremmes af Gibbs og Heaviside, der indså, at vektorerne tjene som et redskab til repræsenterer forskellige fysiske fænomener.

Vektoralgebra studeres gennem tre fonde:

geometrisk

Vektorerne er repræsenteret af linjer, der har en orientering, og operationer som tilsætning, subtraktion og multiplikation med reelle tal defineres gennem geometriske metoder.

analytisk

Beskrivelsen af ​​vektorerne og deres operationer er udført med tal, kaldet komponenter. Denne type beskrivelse er resultatet af en geometrisk repræsentation, fordi et koordinatsystem anvendes.

aksiomatisk

En beskrivelse af vektorerne er lavet, uanset koordinatsystemet eller enhver form for geometrisk repræsentation.

Studiet af figurer i rummet udføres gennem deres repræsentation i et referencesystem, som kan være i en eller flere dimensioner. Blandt de vigtigste systemer er:

- Etdimensionelt system, som er en linje, hvor et punkt (O) repræsenterer oprindelsen og et andet punkt (P) bestemmer skalaen (længden) og retningen af ​​den:

- Rektangulært koordinatsystem (todimensionalt), som består af to vinkelrette linjer kaldet x-akse og y-akse, som passerer gennem en punkt (O) oprindelse; På denne måde er flyet opdelt i fire regioner kaldet kvadranter. I dette tilfælde gives et punkt (P) i flyet af de afstande der eksisterer mellem akserne og P.

- Polar koordinatsystem (todimensionale). I dette tilfælde består systemet af et punkt O (oprindelse), der kaldes en pol og en stråle med oprindelse O kaldet polar akse. I dette tilfælde er punktets punkt P med henvisning til polen og polaraksen givet ved vinklen ()), som dannes af afstanden mellem oprindelsen og punktet P.

- Rektangulært tredimensionalt system, dannet af tre vinkelrette linjer (x, y, z), der har som oprindelse et punkt O i rummet. Tre koordinatplaner dannes: xy, xz og yz; rummet vil blive opdelt i otte regioner kaldet octants. Henvisningen til et punkt P i rummet er angivet af de afstande der eksisterer mellem planerne og P.

størrelser

En størrelsesorden er en fysisk mængde, som kan tælles eller måles gennem en numerisk værdi, som i tilfælde af nogle fysiske fænomener; Ikke desto mindre er det ofte nødvendigt at kunne beskrive disse fænomener med andre faktorer, som ikke er numeriske. Derfor er størrelserne klassificeret i to typer:

Skalar størrelse

De er de mængder, der er defineret og repræsenteret numerisk; det vil sige ved et modul sammen med en måleenhed. For eksempel:

a) Tid: 5 sekunder.

b) Masse: 10 kg.

c) Volumen: 40 ml.

d) Temperatur: 40ºC.

Vektorstørrelse

De er de mængder, der er defineret og repræsenteret af et modul sammen med en enhed, såvel som af en følelse og retning. For eksempel:

a) Hastighed: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Acceleration: 13 m / s2; S 45º E.

c) Kraft: 280 N, 120º.

d) Vægt: -40 ĵ kg-f.

Vektorstørrelser er repræsenteret grafisk af vektorer.

Hvad er vektorer?

Vektorer er grafiske repræsentationer af en vektorstørrelse; det vil sige de er segmenter af lige linje, hvor deres endelige ende er spidsen af ​​en pil.

Disse bestemmes af deres modul eller segmentlængde, deres følelse, som er angivet ved hulspidsen og deres retning i henhold til den linje, de tilhører. Oprindelsen af ​​en vektor er også kendt som anvendelsesstedet.

Elementerne i en vektor er følgende:

modul

Det er afstanden fra oprindelsen til enden af ​​en vektor, repræsenteret af et reelt tal sammen med en enhed. For eksempel:

| OM | = | A | = A = 6 cm

adresse

Det er målingen af ​​den vinkel, der eksisterer mellem x-aksen (fra den positive) og vektoren, såvel som kardinalpunkterne (nord, syd, øst og vest) anvendes.

fornuft

Den er givet ved pilens hoved placeret i slutningen af ​​vektoren, hvilket angiver, hvor dette er på vej.

Vektorer klassifikation

Generelt er vektorer klassificeret som:

Fast vektor

Det er den, hvis ansøgningspunkt (oprindelse) er fastgjort; det vil sige at det forbliver bundet til et punkt i rummet, hvorfor det ikke kan forskydes i dette.

Gratis vektor

Det kan bevæge sig frit i rummet, fordi dets oprindelse bevæger sig til et hvilket som helst punkt uden at ændre dets modul, mening eller retning.

Glidende vektor

Det er den, der kan bevæge sin oprindelse langs sin handling uden at ændre sit modul, sin mening eller retning.

Vektorer egenskaber

Blandt de vigtigste egenskaber af vektorer er følgende:

Equipolentes-vektorer

De er de frie vektorer, der har det samme modul, retning (eller de er parallelle) og føler at en glidende vektor eller en fast vektor.

Ækvivalente vektorer

Det sker, når to vektorer har samme adresse (eller er parallelle), samme forstand, og på trods af at de har forskellige moduler og applikationspunkter, giver de samme effekter.

Lighed af vektorer

De har samme modul, retning og forstand, selvom deres udgangspunkter er forskellige, hvilket gør det muligt for en parallel vektor at bevæge sig uden at påvirke det..

Modsatte Vektorer

De er dem, der har samme modul og retning, men deres sans er modsat.

Vector enhed

Det er det, hvor modulet er lig med enheden (1). Dette opnås ved at dividere vektoren ved dens modul og anvendes til at bestemme retningen og følelse af en vektor, enten i planet eller i rummet, ved hjælp af basisvektorer normaliserede eller enhed, som er:

Null vektor

Det er den, hvis modul er lig med 0; det vil sige, deres oprindelsespunkt og ekstreme falder sammen i samme punkt.

Komponenter af en vektor

Vektorkomponenterne er de værdier af fremspringene af vektoren på akserne i referencesystemet; Afhængigt af dekomponeringen af ​​vektoren, som kan være i to eller tredimensionelle akser, opnås henholdsvis to eller tre komponenter..

Komponenterne i en vektor er reelle tal, som kan være positive, negative eller endog nul (0).

Således, hvis det er en A-vektor, der stammer fra et rektangulært koordinatsystem i xy (todimensional) plan, projektionen på x-aksen er x og fremspringet på y-aksen er AY. Således udtrykkes vektoren som summen af ​​dens komponentvektorer.

eksempler

Første eksempel

Vi har en vektor Â, der starter fra oprindelsen og koordinaterne af dens ender er givet. Således er vektoren  = (Āx; Enog) = (4; 5) cm.

Hvis En vektor fungerer til grund for et koordinatsystem af tre-dimensionelle trekantet (i rummet) x, y, z, til et andet punkt (P), fremspringene på deres akser er Ax, Ay og Az; Vektoren vil således udtrykkes som summen af ​​dens tre-komponentvektorer.

Andet eksempel

Vi har en vektor Â, der starter fra oprindelsen og koordinaterne af dens ender er givet. Således er vektoren  = (Ax; Enog; Enz) = (4; 6; -3) cm.

De vektorer, der har deres rektangulære koordinater, kan udtrykkes i forhold til deres basisvektorer. For det må kun hver koordinat multipliceres med sin respektive enhedsvektor på en sådan måde, at for flyet og rummet vil de være følgende:

For flyet: Â = Axjeg + Aogj.

For rummet: Â = Axjeg + Aogj + azk.

Operationer med vektorer

Der er mange størrelser, der har et modul, sans og retning, såsom acceleration, hastighed, forskydning, kraft blandt andre..

Disse anvendes i forskellige videnskabsområder, og i nogle tilfælde er det nødvendigt at udføre operationer som tilsætning, subtraktion, multiplikation og opdeling af vektorer og skalarer.

Tilsætning og subtraktion af vektorer

Tilsætningen og subtraktionen af ​​vektorer betragtes som en enkelt algebraisk operation, fordi subtraktionen kan skrives som summen; for eksempel kan subtraktion af vektorer  og Ē udtrykkes som:

 - Ē = Ā + (-Ē)

Der er forskellige metoder til at udføre tilføjelse og subtraktion af vektorer: de kan være grafiske eller analytiske.

Grafiske metoder

Bruges når en vektor har et modul, en sans og en retning. Til dette gøres linjer, der danner en figur, der senere hjælper med at bestemme den resulterende. Blandt de mest kendte, skiller sig følgende ud:

Parallelogrammetode

For at gøre tilføjelsen eller subtraktionen af ​​to vektorer, vælges et punkt fælles på koordinataksen, som vil repræsentere punktet for vektorernes oprindelse, idet dets modul, retning og retning opretholdes..

Derefter trækkes linjer parallelt med vektorerne for at danne et parallelogram. Den resulterende vektor er diagonalen, der forlader fra begge vektors oprindelse til parallellogrammets toppunkt:

Triangle metode

I denne metode placeres vektorerne en efter hinanden og opretholder deres moduler, retninger og retninger. Den resulterende vektor vil være foreningen af ​​oprindelsen af ​​den første vektor med slutningen af ​​den anden vektor:

Analytiske metoder

Du kan tilføje eller subtrahere to eller flere vektorer gennem en geometrisk eller vektor metode:

Geometrisk metode

Når to vektorer danner en trekant eller et parallelogram, kan modulet og retningen af ​​den resulterende vektor bestemmes under anvendelse af sine og cosinus love. Modulet af den resulterende vektor, der anvender cosinusloven og ved trekantmetoden, er således givet ved:

I denne formel er β vinklen modsat side R, og dette svarer til 180º -..

I modsætning hertil er det resulterende vektormodul ved parallelogrammetoden:

Retningen af ​​den resulterende vektor er givet ved vinklen (a), som danner den resulterende med en af ​​vektorerne.

Ved sinusloven kan tilsætningen eller subtraktionen af ​​vektorer også ske ved hjælp af trekanten eller parallelogrammetoden, idet man ved at i hver triangel er siderne proportional med vinkernes bryster:

Vector metode

Dette kan gøres på to måder: afhængigt af deres rektangulære koordinater eller deres basisvektorer.

Det kan gøres ved at overføre de vektorer, der skal tilføjes eller subtraheres til koordinaternes oprindelse, og derefter alle fremspringene på hver af akserne for planet (x, y) eller mellemrum (x, og z); Endelig tilsættes dets komponenter algebraisk. Så for flyet er det:

Modulet af den resulterende vektor er:

Mens pladsen er:

Modulet af den resulterende vektor er:

Ved udførelse af vektorsummer anvendes flere egenskaber, som er:

- Associerende egenskab: Resultatet ændres ikke ved først at tilføje to vektorer, og derefter tilsætte en tredje vektor.

- Kommutativ egenskab: Vektorens rækkefølge ændrer ikke den resulterende.

- Vektorfordelingsegenskab: Hvis en skalar multipliceres med summen af ​​to vektorer, svarer den til multiplikationen af ​​skalaren for hver vektor.

- Skalær distributiv egenskab: Hvis en vektor multipliceres med summen af ​​to skalarer, svarer den til multiplikationen af ​​vektoren for hver skalar.

Multiplikation af vektorer

Multiplikationen eller produktet af vektorer kan gøres som tilføjelse eller subtraktion, men i den forbindelse mister den den fysiske betydning og findes næsten aldrig inden for applikationer. Derfor er de mest anvendte produkttyper generelt det skalære og vektoriske produkt.

Skalar produkt

Det er også kendt som et punktprodukt af to vektorer. Når modulerne af to vektorer multipliceres med cosinusen af ​​den mindre vinkel, der dannes mellem dem, opnås en skalær. For at placere et skalært produkt mellem to vektorer placeres et punkt mellem dem, og dette kan defineres som:

Værdien af ​​vinklen der eksisterer mellem de to vektorer afhænger af, om de er parallelle eller vinkelrette; Så skal du:

- Hvis vektorerne er parallelle og har samme forstand, cosinus 0º = 1.

- Hvis vektorerne er parallelle og har modsatte sanser, cosinus 180º = -1.

- Hvis vektorerne er vinkelrette, cosinus 90º = 0.

Denne vinkel kan også beregnes ved at vide at:

Det skalære produkt har følgende egenskaber:

- Kommutativ egenskab: Vektorens rækkefølge ændrer ikke skalaren.

-Fordel: Hvis en skalar multipliceres med summen af ​​to vektorer, svarer den til multiplikationen af ​​skalaren for hver vektor.

Vector produkt

Vektormultiplikationen eller tværproduktet af to vektorer A og B vil resultere i en ny vektor C og udtrykkes ved anvendelse af et tværsnit mellem vektorerne:

Den nye vektor vil have sine egne egenskaber. På den måde:

- Retningen: Denne nye vektor vil være vinkelret på planet, som bestemmes af de originale vektorer.

- Sansningen: Dette bestemmes af højre håndsregel, hvor vektoren A drejes mod B ved at pege på rotationsretningen med fingrene, og med tommelfingeren er vektorens betydning markeret.

- Modulet: bestemmes af multiplikationen af ​​modulerne af vektorer AxB, ved sinus af den mindste vinkel der eksisterer mellem disse vektorer. Det er udtrykt:

Værdien af ​​vinklen der eksisterer mellem de to vektorer afhænger af, om de er parallelle eller vinkelrette. Så er det muligt at bekræfte følgende:

- Hvis vektorerne er parallelle og har samme forstand, synd 0º = 0.

- Hvis vektorerne er parallelle og har modsatte sanser, sinus 180º = 0.

- Hvis vektorerne er vinkelrette, sinus 90º = 1.

Når et vektorprodukt udtrykkes i form af dets basisvektorer, skal det:

Det skalære produkt har følgende egenskaber:

- Det er ikke kommutativt: Vektorernes rækkefølge ændrer skalar.

- Fordel: Hvis en skalar multipliceres med summen af ​​to vektorer, svarer den til multiplikationen af ​​skalaren for hver vektor.

referencer

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Enkel lineær regression." Naturmetoder .
  2. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr til Vectorial i eksempler. Moskva: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Lineær algebra og dens anvendelser. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Lineær algebra: Vector plads. Euklidisk vektor plads. Universitetet i Alicante.
  7. Mora, J. F. (2014). Lineær algebra fædreland.