Matematisk logisk oprindelse, hvilke undersøgelser, typer



den matematisk logik eller symbolsk logik er et matematisk sprog, der indeholder de nødvendige værktøjer ved hjælp af hvilke matematisk begrundelse kan bekræftes eller nægtes.

Det er velkendt, at der i matematik ikke er tvetydigheder. I betragtning af et matematisk argument er dette gyldigt eller simpelthen ikke. Det kan ikke være falsk og sandt på samme tid.

Et særligt aspekt af matematikken er, at den har et formelt og stringent sprog, hvorigennem en argumentations gyldighed kan bestemmes. Hvad er det der gør visse resonemang eller noget matematisk bevis uopretteligt? Sådan handler det om matematisk logik.

Således er logik matematikens disciplin, der er ansvarlig for at studere matematisk ræsonnement og demonstrationer, og give værktøjerne mulighed for at udlede en korrekt konklusion fra tidligere udtalelser eller forslag.

For at gøre dette gør den brug af aksiomer og andre matematiske aspekter, som vil blive udviklet senere.

indeks

  • 1 Oprindelse og historie
    • 1.1 Aristoteles
  • 2 Hvilke matematiske logikundersøgelser?
    • 2.1 Forslag
    • 2.2 Sandhedstabeller
  • 3 Typer af matematisk logik
    • 3.1 Områder
  • 4 referencer

Oprindelse og historie

De nøjagtige datoer med hensyn til mange aspekter af matematisk logik er usikre. Imidlertid sporer de fleste bibliografier om emnet oprindelsen af ​​dette til det antikke Grækenland.

Aristoteles

Begyndelsen af ​​streng behandling af logik er delvis tilskrives Aristoteles, der skrev en række værker om logik, som senere blev udarbejdet og udviklet af forskellige filosoffer og videnskabsmænd, indtil middelalderen. Dette kunne betragtes som "den gamle logik".

Så, hvor er kendt som den moderne tidsalder, Leibniz, drevet af en dyb ønske om at etablere et universelt sprog til at ræsonnere matematisk, og andre matematikere såsom Gottlob Frege og Giuseppe Peano, især påvirket udviklingen af ​​matematisk logik med store bidrag , blandt dem, Axioser af Peano, som formulerer uundværlige egenskaber af naturlige tal.

Var også indflydelsesrige på dette tidspunkt matematikere George Boole og Georg Cantor, med vigtige bidrag til mængdelære og sandhedstabeller, som, fremhævet bl.a. boolsk algebra (af George Boole) og udvalgsaksiomet (af George Cantor).

Augustus De Morgan også med de kendte love Morgan, overvejer negationer, konjunktioner, udskilte beløb og betingede mellem udsagn, nøglen til udviklingen af ​​Symbolic Logic og den berømte John Venn-diagram Venn.

I det 20. århundrede, ca. 1910-1913, skiller Bertrand Russell og Alfred North Whitehead sig ud med deres offentliggørelse af Principia mathematica, et sæt bøger, der samler, udvikler og postulerer en række aksiomer og logiske resultater.

Hvilke matematiske logikundersøgelser?

udsagn

Matematisk logik begynder med studiet af propositioner. Et forslag er en bekræftelse, at der uden tvivl kan siges, om det er sandt eller ej. Følgende er eksempler på propositioner:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • I år 1930 var der et jordskælv i Europa.

Den første er et sandt forslag, og det andet er et falsk proposition. Den tredje, selvom det er muligt, at den person, der læser den, ikke ved, om det er sandt eller straks, er det en erklæring, der kan verificeres og fastslås, om det virkelig er sket eller ej.

Følgende er eksempler på udtryk, der ikke er forslag:

  • Hun er blond.
  • 2x = 6.
  • Lad os spille!
  • Kan du lide biografen?

I det første forslag er det ikke angivet, hvem "hun" er, derfor kan intet bekræftes. I det andet forslag er det, der er repræsenteret af "x", ikke angivet. Hvis der i stedet blev sagt at 2x = 6 for noget naturligt tal x, ville det i dette tilfælde svare til et forslag, faktisk sandt, da for x = 3 er det opfyldt.

De sidste to udsagn svarer ikke til et forslag, da der ikke er nogen måde at nægte eller bekræfte dem.

To eller flere forslag kan kombineres (eller tilsluttes) ved hjælp af de kendte forbindelsesledninger (eller stik). Disse er:

  • Denial: "Det regner ikke".
  • Disjunction: "Luisa købte en hvid eller grå taske".
  • Konjunktion: "42= 16 og 2 × 5 = 10 ".
  • Betinget: "Hvis det regner, så går jeg ikke i gymnastiksalen i eftermiddag".
  • Biconditional: "Jeg går i gymnastiksalen i eftermiddag, hvis, og kun hvis det ikke regner".

Et forslag, der ikke besidder nogen af ​​de foregående forbindelsesled, hedder simpelt forslag (eller atom). For eksempel er "2 mindre end 4", er et simpelt forslag. Forslagene, der har nogle bindemidler, kaldes sammensatte propositioner, som for eksempel "1 + 3 = 4 og 4 er et lige antal".

Erklæringerne fremsat ved hjælp af forslag er normalt lange, så det er kedeligt at skrive dem altid som vi har set hidtil. Af denne grund anvendes et symbolsk sprog. Propositioner er normalt repræsenteret af store bogstaver som f.eks P, Q, R, S, etc. Og det symbolske forbindelsesled som følger:

Så det

den gensidig af et betinget forslag

er forslaget

Og contrapositive (eller kontrapositive) af et forslag

er forslaget

Sandhedstabeller

Et andet vigtigt begreb i logik er sandtabeller. De sandhed værdier af en proposition er de to muligheder du har for en proposition: sand (som er angivet ved V og fortælle deres sandhedsværdi er V) eller falsk (som er angivet ved F, og sige, at dens værdi det er virkelig F).

Sandhedsværdien af ​​en sammensat proposition afhænger udelukkende af sandhedsværdierne af de simple propositioner, der vises i den.

For at arbejde mere generelt, vil vi ikke overveje specifikke forslag, men propositionelle variabler p, q, r, s, etc., som vil repræsentere eventuelle forslag.

Med disse variabler og de logiske forbindelsesled dannes de velkendte propositionelle formler, ligesom sammensatte udsagn er konstrueret.

Hvis hver af de variabler, der vises i en propositionel formel, erstattes af et forslag, opnås en sammensat proposition.

Nedenfor er sandtabellerne for logiske forbindelser:

Der er propositionelle formler, der kun modtager værdien V i deres sandtabell, dvs. den sidste kolonne i deres sandtabell har kun værdien V. Denne type formler er kendt som tautologier. For eksempel:

Det følgende er sandtabellen med formlen

Det siges, at en formel a logisk indebærer en anden formel β, hvis α er sandt hver gang β er sandt. Det er i sandhedstabellen af ​​α og β, rækkerne, hvor α har en V, β har også en V. Kun de rækker, hvori α har værdien V, er af interesse. Notationen til logisk implikation er følgende :

Den følgende tabel opsummerer egenskaberne af den logiske implikation:

Det siges, at to propositionelle formler er logisk ækvivalente, hvis deres sandtabeller er ens. Følgende notation bruges til at udtrykke den logiske ækvivalens:

De følgende tabeller opsummerer egenskaberne af den logiske ækvivalens:

Typer af matematisk logik

Der er forskellige typer logik, især hvis man tager hensyn til den pragmatiske eller uformelle logik, der peger på filosofien, blandt andre områder.

Hvad angår matematik kan typerne af logik opsummeres som følger:

  • Formel eller Aristotelisk Logik (Ancient Logic).
  • Propositional logic: er ansvarlig for undersøgelsen af ​​alt relateret til validiteten af ​​argumenter og propositioner ved hjælp af et formelt sprog og også symbolsk.
  • Symbolisk logik: fokuseret på studiet af sæt og deres egenskaber, også med et formelt og symbolsk sprog, og er dybt forbundet med den propositionelle logik.
  • Kombinatorisk logik: En af de senest udviklede, indebærer resultater, der kan udvikles af algoritmer.
  • Logisk programmering: Anvendes i de forskellige pakker og programmeringssprog.

områder

Blandt de områder, der gør brug af matematisk logik på en uundværlig måde i udviklingen af ​​deres argumentation og argumenter, fremhæver de filosofi, sætteori, talteori, konstruktive algebraiske matematik og programmeringssprog..

referencer

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logik, sæt og tal. Mérida - Venezuela: Publikationsrådet, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. & Soto, A. (1998). Introduktion til talteori. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Grundkursus i talteori. University of the North.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Sådan udvikler du matematisk logisk begrundelse. University Editorial.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teori af tal. Editorial Vision Books.