Moivre's sætning om hvad der består, demonstration og opløste øvelser

den Moivre's sætning anvender grundlæggende algebraprocesser, såsom kræfter og udvinding af rødder i komplekse tal. Stillingen blev udtalt af den berømte franske matematiker Abraham de Moivre (1730), der associerede komplekse tal med trigonometri.

Abraham Moivre gjort denne forening gennem udtryk for sinus og cosinus. Denne form for matematisk formel genereret gennem hvilken det er muligt at rejse en komplekst tal z til potensen n, hvilket er et positivt heltal større end eller lig 1.

indeks

• 1 Hvad er Moivre sætningen??
• 2 Demonstration
  • 2.1 induktiv base
  • 2.2 induktiv hypotese
  • 2.3 Kontrol
  • 2.4 Negativt heltal
• 3 øvelser løst
  • 3.1 Beregning af positive beføjelser
  • 3.2 Beregning af negative kræfter
• 4 referencer

Hvad er Moivre sætningen??

Moivre's sætning hedder følgende:

Hvis du har et komplekst tal i polarformen z = r_ɵ, hvor r er modulet for det komplekse tal z, og vinklen is kaldes amplitude eller argument for et komplekst tal med 0 ≤ ≤ 2π, for at beregne dets nth effekt vil det ikke være nødvendigt at multiplicere det selv n gange; dvs., er det ikke nødvendigt at udføre følgende produkt:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{* *} r_{* *} r_{* * ... *} r_ɵ   n-gange.

Tværtimod siger sætningen, at når man skriver z i sin trigonometriske form for at beregne den nte effekt, fortsætter vi som følger:

Hvis z = r (cos + + i _* synd)) så zⁿ = rⁿ (cos n * + + i _* synd n *)).

For eksempel, hvis n = 2, så z² = r²[cos 2 ()) + i sin 2 ())]. Hvis du har det n = 3, så z³ = z² _* z. Derudover:

z³ = r²[cos 2 ()) + i sin 2 ())] _* r [cos 2 (∩) + i sin 2 (∩)] = r³[cos 3 ()) + i synd 3 ())].

På denne måde kan trigonometriske forhold mellem sinus og cosinus opnås for multipler af en vinkel, så længe de trigonometriske forhold i vinklen er kendt..

På samme måde kan det bruges til at finde mere præcise og mindre forvirrende udtryk for den nte rod af et komplekst tal z, så zⁿ = 1.

For at demonstrere Moivre's sætning anvendes princippet om matematisk induktion: hvis et helt tal "a" har en egenskab "P", og hvis for et helt tal "n" større end "a", der har egenskaben "P", er det hævder, at n + 1 har også den "P" og derefter alle tal større end eller lig heltal "a" har "P" ejendom, der ejes.

show

På denne måde udføres beviset for sætningen med følgende trin:

Induktiv base

Kontroller først for n = 1.

Ligesom z¹ = (r (cos + + i _* sen)))¹ = r¹ (cos + + i _* sen))¹ = r¹ [cos (1_* )) + I _* sen (1_* ))], Vi har det for n = 1 er sætningen opfyldt.

Induktiv hypotese

Det antages, at formlen er sand for nogle positive heltal, det vil sige n = k.

z^k = (r (cos + + i _* sen)))^k  = r^k (cos k + + i _* sen k)).

test

Det er vist sig at være sandt for n = k + 1.

Ligesom z^{k + 1}= z^k _* z, så z^{k + 1} = (r (cos + + i _* sen)))^{k + 1} = r^k (cos kiv + i _* sen k)) _*  r (cos + + i_* senƟ).

Så multiplicerer udtrykkene:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos k½)_*(cosı) + (cos k½)_*(i_*seni) + (i _* sen k))_*(cos) + (i _* sen k))_*(i_* senƟ)).

For et øjeblik ignoreres r-faktoren^{k + 1},  og fælles faktor I fjernes:

(cos k))_*(cosı) + i (cos k½)_*(sin) + i (sen k))_*(cosı) + i²(sen k))_*(SenƟ).

Hvordan jeg² = -1, vi erstatter det i udtrykket, og vi får:

(cos k))_*(cosı) + i (cos k½)_*(sin) + i (sen k))_*(cosı) - (sen k))_*(SenƟ).

Nu bestilles den virkelige og den imaginære del:

(cos k))_*(cosı) - (sen k))_*(sin) + i [(sen k))_*(cosı) + (cos k½)_*(SenƟ)].

For at forenkle udtrykket anvendes de trigonometriske identiteter af summen af ​​vinkler for cosinus og sinus, som er:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = synd A _* cos B - cos A _* cos B.

I dette tilfælde er variablerne vinklerne and og k½. Anvendelse af de trigonometriske identiteter har vi:

cos k½ _* cosƟ -  sen k. _* sen = = cos (k + +))

sen k. _* cos + cos cos _* seni = sen (k + +))

På denne måde forbliver udtrykket:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (k + +)) + i _* sen (k + +)))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1)]] + i _* sen [(k +1)]]).

Det kan således vise sig, at resultatet er sandt for n = k + 1. Ved princippet om matematisk induktion konkluderes det, at resultatet er sandt for alle positive heltal; det vil sige n ≥ 1.

Heltal negativ

Moivre's sætning anvendes også når n ≤ 0. Overvej et negativt heltal "n"; så kan "n" skrives som "-m", det vil sige n = -m, hvor "m" er et positivt heltal. Derfor:

(cos + + i _* sen))ⁿ = (cos + + i _* sen)) ^-m

For at opnå eksponenten "m" på en positiv måde skrives udtrykket omvendt:

(cos + + i _* sen))ⁿ = 1 ÷ (cos + + i _* sen)) ^m

(cos + + i _* sen))ⁿ = 1 ÷ (cos mí + i _* sen m))

Nu er det brugt, at hvis z = a + b * i er et komplekst tal, så 1 ÷ z = a-b * i. Derfor:

(cos + + i _* sen))ⁿ = cos (mí) - i _* sen (mio).

Ved at bruge cos (x) = cos (-x) og at -sen (x) = sin (-x), skal vi:

(cos + + i _* sen))ⁿ = [cos (mí) - i _* sen (mio)]

(cos + + i _* sen))ⁿ = cos (- m) + i _* sen (-m)

(cos + + i _* sen))ⁿ = cos (n) - i _* sen (n)).

På den måde kan vi sige, at sætningen gælder for alle heltalværdier af "n".

Løste øvelser

Beregning af positive kræfter

En af operationerne med komplekse tal i sin polære form er multiplikationen mellem to af disse; i så fald multipliceres modulerne og argumenterne tilføjes.

Hvis du har to komplekse tal z₁ og z₂ og du vil beregne (z₁* z₂)², Så fortsætter vi som følger:

z₁z₂ = [r₁ (cos.₁ + jeg _* sen.₁)] * [r₂ (cos.₂ + jeg _* sen.₂)]

Den fordelende ejendom anvendes:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos._{1 *} cos.₂ + jeg _* cos._{1 *} jeg _* sen.₂ + jeg _* sen._{1 *} cos.₂ + jeg²_* sen._{1 *} sen.₂).

De er grupperet, idet udtrykket "jeg" er en fælles udtryksfaktor:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos._{1 *} cos.₂ + jeg (cos._{1 *} sen.₂ + sen._{1 *} cos.₂) + i²_* sen._{1 *} sen.₂]

Hvordan jeg² = -1, erstattes i udtrykket:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos._{1 *} cos.₂ + jeg (cos._{1 *} sen.₂ + sen._{1 *} cos.₂) - sen._{1 *} sen.₂]

De reelle vilkår omgrupperes med ægte og imaginær med imaginære:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos._{1 *} cos.₂ - sen._{1 *} sen.₂) + i (cos._{1 *} sen.₂ + sen._{1 *} cos.₂)]

Endelig anvendes de trigonometriske egenskaber:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (.₁ + ɵ₂) + i sen (.₁ + ɵ₂)].

Afslutningsvis:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (.₁ + ɵ₂) + i sen (.₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (.₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (.₁ + ɵ₂)].

Øvelse 1

Skriv det komplekse tal i polær form, hvis z = -2-2i. Derefter beregner du z ved hjælp af Moivre's sætning⁴.

opløsning

Det komplekse tal z = -2 -2i udtrykkes i den rektangulære form z = a + bi, hvor:

a = -2.

b = -2.

At vide, at polarformen er z = r (cos + + i _* synd)), skal du bestemme værdien af ​​"r" modulet og værdien af ​​"" "argumentet. Som r = √ (a2 + b²) erstattes de givne værdier:

r = √ (a2 + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

For at bestemme værdien af ​​"∩" anvendes den rektangulære form af dette, hvilket er givet ved formlen:

tan = = b ÷ a

tan = = (-2) ÷ (-2) = 1.

Som tan ()) = 1 og du skal<0, entonces se tiene que:

= = Arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5¸ / 4.

Da værdien af ​​"r" og "" "allerede er opnået, kan det komplekse tal z = -2-2i udtrykkes i den polære form ved at erstatte værdierne:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5/4)).

Nu bruges Moivre sætningen til at beregne z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5/4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Øvelse 2

Find produktet af de komplekse tal ved at udtrykke det i sin polære form:

z1 = 4 (cos 50^eller + jeg_* 50 sen^eller)

z2 = 7 (cos 100^eller + jeg_* 100 sen^eller).

Derefter beregnes (z1 * z2) ².

opløsning

Først dannes produktet af de givne tal:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^eller + jeg_* 50 sen^eller)] * [7 (cos 100^eller + jeg_* 100 sen^eller)]

Multiplicer derefter modulerne sammen, og tilføj argumenterne:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^eller + 100^eller) + i_* sen (50^eller + 100^eller)]

Udtrykket er forenklet:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^eller + (i_* 150 sen^eller).

Endelig anvendes Moivre sætningen:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^eller + (i_* 150 sen^eller)) ² = 784 (cos 300)^eller + (i_* 300 sen^eller)).

Beregning af negative kræfter

At dividere to komplekse tal z₁ og z₂ i sin polære form er modulet opdelt, og argumenterne trækkes fra. Kvotienten er således z₁ ÷ z₂ og det udtrykkes som følger:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (.₁- ɵ₂) + i sen (.₁ - ɵ₂)]).

Som i det foregående tilfælde, hvis du ønsker at beregne (z1 z2 ÷) ³ første division udføres, og derefter sætningen bruges Moivre.

Øvelse 3

givet:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

beregne (z1 ÷ z2) ³.

opløsning

Som følge af ovenstående trin kan det konkluderes, at:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)))

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

referencer

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Fra Moivre's sætning for Trig Identities. Wolfram Demonstration Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra og trigonometri.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineær algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson Education.