Del:
Tales of Miletus sætning Første, Andet og Eksempler
Den første og den anden Thales of Miletus sætning De er baseret på at bestemme trekanter fra andre lignende (første sætning) eller omkreds (anden sætning). De har været meget nyttige på forskellige områder. For eksempel viste den første sætning sig meget nyttig til måling af store strukturer, når der ikke var nogen sofistikerede måleinstrumenter.
Thales of Miletus var en græsk matematiker, der gav store bidrag til geometri, hvoraf disse to sætninger skiller sig ud (i nogle tekster skriver de også det som Thales) og deres nyttige anvendelser. Disse resultater er blevet brugt gennem historien og har givet mulighed for at løse en bred vifte af geometriske problemer.
indeks
- 1 Tales første sætning
- 1.1 Anvendelse
- 1.2 Eksempler
- 2 anden sætning af fortællinger
- 2.1 Anvendelse
- 2.2 Eksempel
- 3 referencer
Første sætning af Tales
Tales første sætning er et meget nyttigt redskab, der bl.a. giver mulighed for at opbygge en trekant som ligner en anden, der tidligere var kendt. Hent herfra forskellige versioner af sætningen, der kan anvendes i flere sammenhænge.
Inden du giver dit udsagn, skal du huske nogle forestillinger om lighedens trekant. I det væsentlige er to trekanter ens, hvis deres vinkler er kongruente (de har samme mål). Dette giver anledning til, at hvis to trekanter er ens, er deres tilsvarende sider (eller homologer) forholdsmæssige.
Thales første sætning siger, at hvis en retlinie i en given trekant trækkes parallelt med nogen af dens sider, vil den opnåede nye trekant ligne den første trekant.
Du får også et forhold mellem de vinkler, der dannes, som det ses i den følgende figur.
ansøgning
Blandt sine mange applikationer fremhæver en særlig interesse og har at gøre med en af de måder, hvorpå målinger af store strukturer blev foretaget i oldtiden, tid, hvor han levede Tales og hvor ikke tælles på moderne måleinstrumenter de eksisterer nu.
Det siges, at det var sådan, at Thales formåede at måle den højeste pyramide i Egypten, Cheops. Til dette antydede Thales, at solens stråles refleksioner rørte jorden, der danner parallelle linjer. Under denne antagelse stak han en stang eller stok lodret ind i jorden.
Derefter anvendt han ligheden mellem de to resulterende trekanter, en sådan dannet ved længden af skyggen af pyramiden (som kan beregnes let) og højden af pyramiden (ukendt), og den anden dannes af længderne af skyggen og højden af stangen (som også kan let beregnes).
Ved hjælp af proportionaliteten mellem disse længder kan du rydde og kende pyramidens højde.
Selv om denne målemetode kan smide en fejl betydelig tilgang til nøjagtigheden af højden og afhænger af parallelitet af sol stråler (som igen afhænger af en præcis tid), må vi erkende, at det er en meget smart idé og det gav et godt målealternativ for tiden.
eksempler
Find værdien af x i hvert tilfælde:
opløsning
Her har vi to linjer skåret af to parallelle linjer. Ved Thales første sætning har man, at deres respektive sider er proportionale. Især:
opløsning
Her har vi to trekanter, hvoraf en er dannet af et segment parallelt med en af siderne på den anden (netop siden af længden x). Ved Tales første sætning skal du:
Andet sætning
Thales anden sætning bestemmer en rigtig trekant indskrevet på en omkreds i hvert punkt af det samme.
En trekant indskrevet på en omkreds er et trekant, hvis hjørner er på omkredsen og således er indeholdt i dette.
Specifikt angiver Thales anden sætning følgende: Givet en cirkel af center O og diameter AC, bestemmer hvert punkt B af omkredsen (bortset fra A og C) en ret trekant ABC med ret vinkel Som begrundelse bemærkes, at både OA og OB og OC svarer til radiusen af omkredsen; Derfor er deres målinger ens. Derfra opnås det, at trianglerne OAB og OCB er ensløse, hvor Det er kendt, at summen af en trekants vinkler er lig med 180º. Brug dette med trekant ABC skal du: 2b + 2a = 180º. Tilsvarende har vi det b + a = 90º og b + a = Bemærk, at den rigtige trekant, der leveres af Thales anden sætning, er netop den, hvis hypotenuse er lig med diameteren af omkredsen. Derfor er det helt bestemt af den halvcirkel, der indeholder punkterne i trekanten; i dette tilfælde den øverste halvcirkel. Bemærk også, at i den rigtige trekant, der er opnået ved hjælp af Thales anden sætning, er hypotenussen opdelt i to lige store dele af OA og OC (radius). Til gengæld er denne mål lig med segment OB (også radius), hvilket svarer til medianen af trekanten ABC af B. Med andre ord er længden af medianen af den højre trekant ABC svarende til vertex B helt bestemt af halvdelen af hypotenusen. Husk at medianen af en trekant er segmentet fra en af hjørnerne til midtpunktet på den modsatte side; i dette tilfælde BO segmentet. En anden måde at se Thales anden sætning er gennem en cirkel omkranset en rigtig trekant. Generelt består en cirkel, der er omkranset af en polygon, af omkredsen, der passerer gennem hvert af dets hjørner, når det er muligt at spore det. Jeg bruger det andet teorem sådan givet en retvinklet trekant, kan vi altid konstruere en circumcircle til dette, med en radius svarende til halvdelen af hypotenusen og circumcenter (midten af cirklen) som midtpunktet af hypotenusen. En meget vigtig anvendelse af Tales anden sætning, og måske den mest anvendte, er at finde tangentlinjerne til en given omkreds med et punkt P, der er eksternt til dette (kendt). Bemærk, at givet en omkreds (tegnet med blåt i nedenstående figur) og en ydre punkt P, der er to tangenter til omkredsen passerer gennem P. Sean T og T 'punkterne i tangency, r radius af cirklen og Eller centrum. Det er kendt, at segmentet, der går fra midten af en cirkel til et punkt af tangens af det, er vinkelret på denne tangentlinje. Derefter er OTP-vinklen lige. Fra det, vi så tidligere i Thales første sætning og dens forskellige versioner, ser vi, at det er muligt at indskrive OTP-trekanten i en anden omkreds (i rød). Analogt opnås det, at OT'P-trekanten kan indskrives inden for samme tidligere omkreds. For den anden tilsætning sætning sådan vi opnå den nye cirkel diameter er netop hypotenusen af trekanten OTP (som er lig med hypotenusen af trekanten OT'P), og centret er midtpunktet af hypotenusen. For at beregne midten af den nye omkreds er det så tilstrækkeligt at beregne midtpunktet mellem midten - sig M - af den oprindelige omkreds (som vi allerede ved) og punktet P (som vi også ved). Derefter vil radius være afstanden mellem dette punkt M og P. Med radius og centrum af den røde cirkel kan vi finde sin kartesiske ligning, som vi husker, er givet af (x-h)2 + (Y-k)2 = c2, hvor c er radius og punktet (h, k) er midten af cirklen. Ved at kende begge omkredsers ligninger kan vi krydse dem ved at løse systemet af ligninger dannet af disse og således opnå tangenternes tangent T og T '. Endelig, for at kende de ønskede tangentlinjer er det nok at finde ligningen af de lige linjer, der passerer gennem T og P, og ved T 'og P. Overvej en omkreds med diameter AC, center O og radius 1 cm. Lad B være et punkt på omkredsen sådan at AB = AC. Hvor meget måler AB? Ved Thales anden sætning har vi, at trekanten ABC er et rektangel, og hypotenus svarer til diameteren, som i dette tilfælde måler 2 cm (radius er 1 cm). Derefter skal vi ved den pythagoriske sætning:
Omskreven omkreds
ansøgning
eksempel
opløsning
referencer