Varignons sætteeksempler og opløste øvelser



den Varignons sætning fastslår, at hvis der i en firkantet er punkter, der kontinuerligt sluttes til siderne, genereres et parallelogram. Denne sætning blev formuleret af Pierre Varignon og udgivet i 1731 i bogen Elementer af matematik".

Bogens udgivelse fandt sted år efter hans død. Da Varignon var den, der præsenterede denne sætning, er parallelogrammet opkaldt efter ham. Stillingen er baseret på euklidisk geometri og præsenterer geometriske forhold mellem quadrilaterals.

indeks

  • 1 Hvad er Varignons sætning??
  • 2 Eksempler
    • 2.1 Første eksempel
    • 2.2 Andet eksempel
  • 3 øvelser løst
    • 3.1 Øvelse 1
    • 3.2 Øvelse 2
    • 3.3 Øvelse 3
  • 4 referencer

Hvad er Varignons sætning??

Varignon hævdede, at et tal, der er defineret ved midterpunkterne i en firkant, altid vil resultere i et parallelogram, og området heraf vil altid være halvdelen af ​​firkantet, hvis det er fladt og konveks. For eksempel:

I figuren kan vi se et firkant med et område X, hvor sidens midterpunkter er repræsenteret af E, F, G og H, og når de er sammenføjet, danne et parallelogram. Firkantets område er summen af ​​de områder af trekanterne, der dannes, og halvdelen svarer til området for parallelogrammet.

Da området af parallelogrammet er halvdelen af ​​firkantet, kan perimeteret af dette parallelogram bestemmes.

Omkredsen er således lig med summen af ​​længderne af de firekantede diagonaler; dette skyldes, at medianen af ​​firkanten er diagonalerne af parallelogrammet.

På den anden side, hvis længderne af firkantens diagonaler er nøjagtigt ens, vil parallelogrammet være en diamant. For eksempel:

Fra figuren kan man se, at man ved at slutte sig til midterpunkterne på siderne af firkanten, opnår en rhombus. På den anden side, hvis firkantens diagonaler er vinkelret, vil parallelogrammet være et rektangel.

Også parallelogrammet vil være en firkant, når firkanten har diagonalerne med samme længde og også være vinkelret.

Stillingen er ikke kun opfyldt i flade firkanter, det er også implementeret i rumlig geometri eller i store dimensioner; det vil sige i de quadrilaterals, der ikke er konvekse. Et eksempel på dette kan være en oktaedron, hvor midtpunkterne er centroiderne i hvert ansigt og danner en parallelepiped.

På denne måde opnås parallelogrammer ved at slutte med midtpunkterne i forskellige figurer. En simpel måde at kontrollere om dette virkelig er sandt er, at de modsatte sider skal være parallelle, når de forlænges.

eksempler

Første eksempel

Forlængelse af de modsatte sider for at vise, at det er et parallelogram:

Andet eksempel

Ved at slutte med en diamantens midtpunkter opnår vi et rektangel:

Stykket bruges i forening af punkter placeret midt på siderne af en firkant og kan også bruges til andre typer punkter, såsom i en tresektion, penta-sektion eller endda et uendeligt antal sektioner (f.eks. nth) for at opdele sidene af en hvilken som helst firkant i segmenter, der er proportionelle.

Løste øvelser

Øvelse 1

Vi har i figuren en firkantet ABCD i område Z, hvor midtpunkterne på siderne af dette er PQSR. Kontroller, at der er dannet et parallelogram af Varignon.

opløsning

Det kan verificeres, at når der tilsluttes PQSR-punkterne, dannes et parallelogram af Varignon, netop fordi i erklæringen er midterpunktene for et firsidigt givet.

For at demonstrere dette er midtpunktene PQSR forenet, så det kan ses, at der dannes et andet firsidet. For at vise, at det er et parallelogram, skal du bare tegne en lige linje fra punkt C til punkt A, så du kan se, at CA er parallel med PQ og RS.

På samme måde kan man ved at udvide PQRS-siderne bemærke, at PQ og RS er parallelle som vist i det følgende billede:

Øvelse 2

Det har et rektangel, så længderne af alle sider er ens. Når man slutter til midterpunkterne på disse sider, dannes en rhombus ABCD, som er opdelt af to diagonaler AC = 7cm og BD = 10cm, som falder sammen med målingerne af rektangelens sider. Bestem diamant- og rektangelområderne.

opløsning

Husk at området for det resulterende parallelogram er halvt firekantet, du kan bestemme området for disse ved at vide, at målingen af ​​diagonalerne falder sammen med rektangelens sider. Så du skal:

AB = D

CD = d

Enrektangel = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Enrhombus = A rektangel / 2

Enrhombus = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Øvelse 3

Vi har i figuren et firkant, der har forening af punkterne EFGH, længden af ​​segmenterne er givet. Bestem, om foreningen af ​​EFGH er et parallelogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

opløsning

I betragtning af segmenternes længder er det muligt at kontrollere, om der er proportionalitet mellem segmenterne; det vil sige, vi kan vide, om disse er parallelle, relaterer firkantets segmenter på følgende måde:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Derefter kontrolleres proportionaliteten, da:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Tilsvarende kan vi se, at EH er parallelt med BD, når BD er parallelt med FG, når vi tegner en linje fra punkt B til punkt D. På den anden side er EF parallelt med GH.

På denne måde kan det fastslås, at EFGH er et parallelogram, fordi de modsatte sider er parallelle.

referencer

  1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Flad Euklidisk Geometri. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Studie af geometri. Mexico: Hispanic - Amerikansk.
  4. Ramo, G. P. (1998). Ukendte løsninger på problemerne med Fermat-Torricelli. ISBN - Uafhængigt arbejde.
  5. Vera, F. (1943). Elementer af geometri. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Nogle eventyr i euklidisk geometri. Sydafrika.