Binomial Theorem Demonstration and Examples

den binomial sætning er en ligning, der fortæller os, hvordan man udvikler et udtryk for formularen (a + b)ⁿ for nogle naturlige nummer n. En binomial er ikke mere end summen af ​​to elementer, som (a + b). Det giver os også mulighed for at kende for et begreb givet af a^kb^n-k Hvad er den koefficient, der følger med den.

Denne sætning er almindeligvis tilskrevet den engelske opfinder, fysiker og matematiker Sir Isaac Newton; Der er dog fundet flere optegnelser, der tyder på, at i Mellemøsten var dets eksistens allerede kendt omkring år 1000.

indeks

• 1 kombinatoriske tal
• 2 Demonstration
• 3 eksempler
  • 3.1 Identitet 1
  • 3.2 Identitet 2
• 4 En anden demonstration
  • 4.1 Demonstration ved induktion
• 5 nysgerrighed
• 6 referencer

Kombinerende tal

Binomial sætningen fortæller os matematisk følgende:

I dette udtryk er a og b reelle tal og n er et naturligt tal.

Før vi giver demonstrationen, lad os se nogle grundlæggende begreber, der er nødvendige.

Det kombinatoriske tal eller kombinationer af n i k udtrykkes som følger:

Denne formular udtrykker værdien af ​​hvor mange undergrupper med k-elementer der kan vælges fra et sæt n-elementer. Dens algebraiske udtryk er givet af:

Lad os se et eksempel: formoder, at vi har en gruppe på syv bolde, hvoraf to er røde og resten er blå.

Vi ønsker at vide, hvor mange måder vi kan bestille dem i træk. En måde kunne være at placere de to røde i den første og anden position, og resten af ​​kuglerne i de resterende stillinger.

I lighed med det foregående tilfælde kunne vi give de røde bolde henholdsvis den første og den sidste position og besætte de andre med blå bolde.

Nu er en effektiv måde at tælle på, hvor mange måder vi kan bestille kuglerne på en række ved hjælp af combinatorialnumrene. Vi kan se hver position som et element i følgende sæt:

Dernæst er det kun nødvendigt at vælge en delmængde af to elementer, hvor hvert af disse elementer repræsenterer den position, som de røde bolde vil optage. Vi kan gøre dette valg i henhold til forholdet fra:

På denne måde har vi, at der er 21 måder at sortere sådanne bolde på.

Den generelle ide om dette eksempel vil være meget nyttig i demonstrationen af ​​binomial sætningen. Lad os se på et bestemt tilfælde: Hvis n = 4 har vi (a + b)⁴, som ikke er mere end:

Når vi udvikler dette produkt, har vi summen af ​​de vilkår, der opnås ved at gange et element af hver af de fire faktorer (a + b). Således vil vi have vilkår, der vil være af formularen:

Hvis vi ønskede at få formularens udtryk til⁴, bare multiplicere på følgende måde:

Bemærk, at der kun er en måde at opnå dette element på; men hvad sker der, hvis vi nu ser efter formularens udtryk til²b²? Da "a" og "b" er reelle tal og derfor er den kommutative lov gyldig, har vi en måde at få dette udtryk på at multiplicere med medlemmerne som angivet af pilene.

At udføre alle disse operationer er normalt noget kedeligt, men hvis vi ser ordet "a" som en kombination, hvor vi ønsker at vide, hvor mange måder vi kan vælge to "a" fra et sæt af fire faktorer, kan vi bruge ideen om det foregående eksempel. Så har vi følgende:

Så vi ved, at i den endelige udvikling af udtrykket (a + b)⁴ Vi har præcis 6a²b². Brug samme idé til de andre elementer, du skal:

Så tilføjer vi de tidligere opnåede udtryk, og vi skal:

Det er en formel demonstration for det generelle tilfælde, hvor "n" er et naturligt tal.

show

Bemærk, at de vilkår, der forbliver ved udvikling af (a + b)ⁿ er af form til^kb^n-k, hvor k = 0,1, ..., n. Ved hjælp af ideen om det foregående eksempel har vi mulighed for at vælge "k" variabler "a" fra "n" -faktorerne er:

Ved at vælge på denne måde vælger vi automatisk n-k variabler "b". Heraf følger, at:

eksempler

I betragtning af (a + b)⁵, Hvad ville være dens udvikling?

Ved binomial sætningen skal vi:

Binomial sætningen er meget nyttig, hvis vi har et udtryk, hvor vi vil vide, hvad koefficienten af ​​et bestemt udtryk er uden at skulle udføre den fulde udvikling. Som et eksempel kan vi tage følgende spørgsmål: Hvad er koefficienten for x⁷og⁹ i udviklingen af ​​(x + y)¹⁶?

Ved binomial sætningen har vi, at koefficienten er:

Et andet eksempel ville være: hvad er koefficienten af ​​x⁵og⁸ i udviklingen af ​​(3x-7y)¹³?

Først omskrives udtrykket på en bekvem måde; dette er:

Derefter har vi ved hjælp af binomial sætningen, at den ønskede koefficient er, når vi har k = 5

Et andet eksempel på anvendelsen af ​​denne sætning er i demonstration af nogle fælles identiteter, som de nedenfor omtalte.

Identitet 1

Hvis "n" er et naturligt tal, skal vi:

Til demonstrationen bruger vi binomial sætningen, hvor både "a" og "b" tager værdien af ​​1. Derefter har vi:

På den måde har vi bevist den første identitet.

Identitet 2

Hvis "n" er et naturligt tal, så

Ved binomial sætningen skal vi:

En anden demonstration

Vi kan lave en anden demonstration for binomial sætningen ved hjælp af den induktive metode og pascal identiteten, som fortæller os, at hvis "n" og "k" er positive heltal, der opfylder n ≥ k, så:

Demonstration ved induktion

Lad os først se, at den induktive base er opfyldt. Hvis n = 1 skal vi:

Faktisk ser vi, at det er opfyldt. Lad nu n = j være sådan, at den er opfyldt:

Vi vil se, at for n = j + 1 er det opfyldt, at:

Så skal vi:

Ved hypotese ved vi det:

Derefter bruger den distributive ejendom:

Derefter udvikler vi hver af de summer, vi har:

Nu, hvis vi grupperer sammen på en bekvem måde, skal vi:

Ved hjælp af pascals identitet skal vi:

Endelig bemærk at:

Derfor ser vi, at binomial sætningen er opfyldt for alle "n", der tilhører det naturlige tal, og dermed slutter testen.

kuriositeter

Det kombinatoriske tal (nk) kaldes også binomialkoefficienten, fordi det er netop koefficienten, der vises i udviklingen af ​​binomialet (a + b)ⁿ.

Isaac Newton gav en generalisering af denne sætning for det tilfælde, hvor eksponenten er et reelt tal; denne sætning er kendt som Newtons binomiale sætning.

Allerede i antikken var dette resultat kendt for det særlige tilfælde, hvor n = 2. Denne sag er nævnt i elementer af Euclides.

referencer

1. Johnsonbaugh Richard. Diskret matematik PHH
2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematik og dens applikationer. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D. og Marc Lipson. Diskret matematik. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskret og kombinerende matematik. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskret matematik og Combinatoria.Anthropos